Capitulo 3 probabilidade e estatistia

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Noc˜es de Probabilidade e Estat´stica ¸o ı Resoluc˜o dos Exerc´cios Pares ¸a ı Cap´tulo 3 ı
Gledson Luiz Picharski Data da ultima atualiza¸˜o: 2 de Maio de 2008 ´ ca

Se¸˜o 3.1 ca
2. Com base na informa¸˜o que vocˆ conhece, crie os valores e as respectivas probabilidades ca e para a vari´vel n´mero de filhos em familias, no caso da popula¸˜o considerada ser: a u ca a) A classe m´diapaulistana. e b) Os habitantes do interior do Maranh˜o. a Resposta: Existem v´rias respostas para este problema, fa¸o ent˜o uma suposi¸˜o para os itens a c a ca e calculo as probabilidades. a) > freq = c(10, 20, 30, 35, 30, 15, 5) > x x 1 2 3 4 5 6 7 num.filhos freq prob 0 10 0.06896552 1 20 0.13793103 2 30 0.20689655 3 35 0.24137931 4 30 0.20689655 5 15 0.10344828 6 5 0.03448276

b) > freq = c(5, 10,28, 32, 35, 20, 10, 5) > x x

1

1 2 3 4 5 6 7 8

num.filhos freq prob 0 5 0.03448276 1 10 0.06896552 2 28 0.19310345 3 32 0.22068966 4 35 0.24137931 5 20 0.13793103 6 10 0.06896552 7 5 0.03448276

4. O n´mero de anos prestando vestibular para conseguir uma vaga na universidade est´ u a sendo estudado. As carreiras tˆm procuras diferentes e, em muitas delas, o comum pode e ser prestarvestibular mais de um ano. Suponha que escolhemos, ao acaso, um dos ingressantes da sua carreira. Que probabilidade vocˆ atribuiria(invente!) `necessidade de e a 1,2,3,... anos de vestibular. Resposta: Devem ser respeitados os axiomas de probabilidade para fazer esta suposi¸˜o, uma solu¸˜o ca ca possivel seria: > x 18). Resposta: a)  0, se x < 10;    0.2, se 10 ≤ x < 12;   f (x ) = 0.3, se 12≤ x < 13;   0.4, se 13 ≤ x < 25;    0.1, se x ≥ 25. 0.4 = 0.61 9

b) P (X ≤ 12) = P (X < 12) + P (X = 12) = 0.2 + 0.3 = 0.5 c) P (X < 12) = 0.2 d) P (12 ≤ X ≤ 20) = 0.3 + 7 × e) P (X > 18) = 6 ×

0.4 + 0.1 = 0.37 9

Se¸˜o 3.2 ca
2. Sendo X uma vari´vel seguindo o modelo Uniforme Discreto, com valores no conjunto1,2,3,...,10, a pergunta-se: a) P (X ≥ 7). b) P (3 < X ≤ 7). c) P (X < 2ou X ≥ 8). d) P (X ≥ 5 ou X > 8). e) P (X > 3 e X < 6). f) P (X ≤ 9|X ≥ 6). Resposta: Uma solu¸˜o computacionalmente correta seria a que segue, mais abaixo fa¸o um ca c detalhamento um pouco maior de uma resolu¸˜o n˜o computacional. ca a > x mean(x >= 7) [1] 0.4 b) > mean(x 3) 3

[1] 0.4 c) > mean(x < 2 [1] 0.4 d) > mean(x > 5 [1] 0.5 e) > mean(x > 3 & x < 6) [1] 0.2 f) > mean(x[x >= 6]8)#A op¸~o "|" significa "ou" ca | x >= 8)#A op¸~o "|" significa "ou" ca

Este caso tamb´m pode ser visto de forma diferente: e C1 = {x ∈ Ω|x < 2} = {1} C2 = {x ∈ Ω|x ≥ 8} = {8, 9, 10} P (X < 2 ∪ X ≥ 8) = P (C1 ∪ C2) = P (C1) + P (C2) − P (C1 ∩ C2) Sabendo que n˜o existe intersec¸˜o entre os eventos, ou seja P (C1 ∩ C2) = 0, temos: a ca 3 4 1 + = = 0.4 P (X < 2 ∪ X ≥ 8) = 10 10 10 4

d) D = {x ∈Ω|x ≥ 5 ou x > 8} = {5, 6, 7, 8, 9, 10} P (X ≥ 5 ou X > 8) = 6 ♯D = = 0.6 ♯Ω 10

De forma analoga ao item anterior, temos: D1 = {x ∈ Ω|x ≥ 5} = {5, 6, 7, 8, 9, 10} D2 = {x ∈ Ω|x > 8} = {9, 10} P (X ≥ 5 ou X > 8) = P (D1 ∪ D2) = P (D1) + P (D2) − P (D1 ∩ D2) 6 2 2 6 + − = = 0.6 10 10 10 10 e) D = {x ∈ Ω|x > 3 e x < 6} = {4, 5} P (X ≥ 5 ou X > 8) = ♯E 2 = = 0.2 ♯Ω 10 f) A probabilidadecondicionada pode ser vista classicamente assumindo que o evento de condi¸˜o ´ o novo espa¸o amostral, assim teriamos: ca e c P (3 < X < 6) = Ωf = {x ∈ Ω|x ≥ 6} = {6, 7, 8, 9, 10} F 1 = {x ∈ Ωf |x ≤ 9} = {6, 7, 8, 9} P (X ≤ 9|X ≥ 6) = 4 ♯F 1 = = 0.8 ♯Ωf 5

Tamb´m pode ser resolvido pela pr´pria defini¸˜o de probabilidade condicional, que e o ca em muitos casos pode ser mais favor´vel por nos levar aoteorema de Bayes. Consia deremos novamente o espa¸o amostral inicial e definamos os eventos F2 e F3. c F 2 = {x ∈ Ω|x ≤ 9} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} F 3 = {x ∈ Ω|x ≥ 6} = {6, 7, 8, 9, 10} P (X ≤ 9|X ≥ 6) = P (F 2 ∩ F 3) = P (F 3)
4 10 5 10

=

4 = 0.8 5

4. Discuta a validade do modelo Binomial nos seguintes casos: a) Dos alunos de uma grande universidade, sorteamos 5 e contamos quantos se...
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