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Cálculo I Lista de Exercícios – Limites
LIMITES DE FUNÇÕES Seja f  x  uma função definida sobre algum intervalo aberto que contém o número "a " , exceto possivelmente no próprio "a " . Então, diz-se que o limite de f  x  quando x tende a "a " x  a  é L , e representa-se por

lim f  x   L
x a

se 0  x  a   para todo   0 há um número correspondente   0 tal que 0  x  a  , isto é, se 0  x  a    f x   L   . Exemplo: Provar que lim 4 x  5   7
x 3

f x   L   sempre que

Solução: (a) Encontrar um valor para  : Uma análise preliminar do problema indica que se   0 , deve encontrar-se um  tal que  4x  5   7   sempre que 0  x  3   , mas  4x  5   7  4x  12  4 x  3  4 x  3   sempre que 0  x  3   , isto é,
x3   sempre que 0  x  3   , logo   . 4 4  4

(b) Prova: Por tanto, dado   0 , escolhe-se   , e se 0  x  3   , então,

 4x  5   7
Assim

 4 x  12  4 x  3

  4 x  3  4  4     4

 4x  5   7
x 3

  sempre que 0  x  3   ,

por tanto

lim 4 x  5   7

Na prática é suficiente substituir a variável pelo valor ao qual ela tende, isto é,
x 3x 3

donde

lim 4 x  5   4  3  5 12  5  7

Exemplos: a) b)

lim x 2  32  9
x 3

lim 5x  7  5  4  7  27
x 4

Em alguns exemplos o limite não é tão evidente. Seja a função 3 x 2 4 x 4 , com x  2 , isto é, f x   x 2

3 x 2 4 x 4 0 Indeterminação, f x   lim  x 2 x 2 0 Estudando-se esta função, tem-se que o domínio de f  x  abrange todos osnúmeros reais, com exceção de x  2 que anula o denominador e o numerador. O que significa que a função é indefinida neste ponto. Porém, ao se utilizar “Baskara” no numerador, ou seja,
ax  bx  c  0 
2

x

 b b 2 4ac 2a

.

Assim,
x 4 1648 6  x  2 48   1 6 x2   2 3

f x  

3x 2 4 x4 (3x2)( x2)   3x2 x 2 x 2

x
1,900 1,990 1,999 2,000 2,001 2,010 2,100f x 
8

Y

7,700 7,970 7,997 8,000 8,003 8,030 8,300
2

X

f  x   3x  2 x  2 Ponto  2 , 8  deve ser excluído do gráfico, pois naquele ponto a função é indefinida.

O gráfico mostra que para x aproximando de 2 , f  x  se aproxima de 8 , mas se substituir-se x  2 na 1a expressão, f  x  não está definida naquele ponto. Desta forma, tem-se que

f x   lim

3 x 2 4 x4 (3x2)( x2)  lim  lim 3x2  8 , x 2 x 2 x 2 x 2 x 2

Exercícios:

x 2 16 0 Indeterminação,  x  4 x 4 0 onde substituição direta novamente anula o denominador e o numerador, e a função é indefinida neste ponto. Porém, obtendo-se as raízes do numerador, ou seja, ( x4)( x4) lim  lim ( x4)  8  y  x  4 x 4 x 4 ( x4) Em f x   x  4 , o ponto  4 , 8  deve serexcluído do gráfico, pois x  4 , pois o domínio de f  x  é: D : x   /  ,4  4,  e tem como imagem I : y   /  ,8  8, . lim
8

Y

4

4

4

X

3.1 - Propriedades dos Limites 1) 2) 3)

limu  v  limu   limv  para u  ux  e v  vx 
x a x a x a

limC u   C limu  para u  ux  e C é uma constante
x a x a

limu  v  limu   limv para u  ux  e v  vx 
x a x a x a

4)

 u   limu  lim    xa x a v    limv  x a

para u  u  x  e v  v x 

5) 6) 7) 8)

lim u m  lim u 
x a x a

 





m

para u  ux 
para u  ux 

lim m u  m lim u 
x a x a

limlog a u   log a limu 
x a x a





para u  ux 

lim u v  lim u  x a
x a x a

 



lim v 

para u  ux  e v  vx 

9)

0  0, 0   0, 0   , 

 

 , e    0,

  k

 ,

 k

0

10)

Indeterminações de limites:   ,   0,

0 , 0

 ,  0 , 0 0 , 1 

Exemplos:

1)

lim
x 1

8 x1 lim 8 x1  x1  x3 lim x3
x 1

9 4



3 2

2)

x 2  4 x3 0  x 1 0 x 2 1 lim...
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