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Cálculo I Lista de Exercícios – Limites
LIMITES DE FUNÇÕES Seja f  x  uma função definida sobre algum intervalo aberto que contém o número "a " , exceto possivelmente no próprio "a " . Então, diz-se que o limite de f  x  quando x tende a "a " x  a  é L , e representa-se por

lim f  x   L x a

se 0  x  a   para todo   0 há um número correspondente   0 tal que 0  x  a   , isto é, se 0  x  a    f x   L   . Exemplo: Provar que lim 4 x  5   7 x 3

f x   L   sempre que

Solução: (a) Encontrar um valor para  : Uma análise preliminar do problema indica que se   0 , deve encontrar-se um  tal que  4x  5   7   sempre que 0  x  3   , mas  4x  5   7  4x  12  4 x  3  4 x  3   sempre que 0  x  3   , isto é, x3    sempre que 0  x  3   , logo   . 4 4  4

(b) Prova: Por tanto, dado   0 , escolhe-se   , e se 0  x  3   , então,

 4x  5   7
Assim

 4 x  12  4 x  3

  4 x  3  4  4     4

 4x  5   7 x 3

  sempre que 0  x  3   ,

por tanto

lim 4 x  5   7

Na prática é suficiente substituir a variável pelo valor ao qual ela tende, isto é, x 3 x 3

donde

lim 4 x  5   4  3  5 12  5  7

Exemplos: a) b)

lim x 2  32  9 x 3

lim 5x  7  5  4  7  27 x 4

Em alguns exemplos o limite não é tão evidente. Seja a função 3 x 2 4 x 4 , com x  2 , isto é, f x   x 2

3 x 2 4 x 4 0 Indeterminação, f x   lim  x 2 x 2 0 Estudando-se esta função, tem-se que o domínio de f  x  abrange todos os números reais, com exceção de x  2 que anula o denominador e o numerador. O que significa que a função é indefinida neste ponto. Porém, ao se utilizar “Baskara” no numerador, ou seja, ax  bx  c  0 
2

x

 b b 2 4ac 2a

.

Assim, x 4 1648 6  x  2 48   1 6 x2   2 3

f x  

3x 2 4 x4 (3x2)( x2)   3x2 x 2 x 2

x
1,900 1,990 1,999 2,000 2,001 2,010 2,100