Cap5

1434 palavras 6 páginas
´ lgebra Linear e Geometria Anal´ıtica
A
Departamento de Matem´atica FCT-UNL
1o semestre - 2014/2015

Ficha de Exerc´ıcios: “Aplica¸c˜ oes Lineares”
1. Determine se as aplica¸c˜ oes seguintes s˜ao aplica¸c˜oes lineares:
(a) f : R2 −→ R2 tal que f (x, y) = (2x, y).
(b) f : R2 −→ R3 tal que f (x, y) = (x2 , y, 0).
(c) f : R3 −→ R2 tal que f (x, y, z) = (x + y + 1, z).
(d) f : R2 −→ R2 tal que f (x, y) = (1, 1).
(e) f : R3 −→ M2×2 (R) tal que f (x, y, z) =

x x+y
0
z

.

2. Considere f : R3 −→ R3 uma aplica¸c˜ao linear tal que f (1, 0, 0) = (1, 1, 1) e f (0, 1, 1) =
(0, 0, 2). Determine:
(a) f (3, 0, 0).
(b) f (0, −1, −1).
(c) f (0, 0, 0).

(d) f (2, −4, −4).
(e) f (a, b, b), com a, b ∈ R.

3. Considere f : E −→ E uma aplica¸c˜ao linear. Seja W um subespa¸co de E tal que
W = u1 , . . . , uk . Prove que f (W ) = f (u1 ), . . . , f (uk ) .
4. Verifique que ´e linear cada uma das aplica¸c˜oes seguintes:
(a) f : R3 −→ R2 tal que f (a, b, c) = (a + b, c).
  a 2

(b) g : M3×1 (R) −→ R tal que g( b ) = (a + b, c). c (c) h : R2 [x] −→ M2×2 (R) tal que h(ax2 + bx + c) =

a+b c
.
0
0

5. Seja f : Mm×n (R) −→ Mn×m (R) tal que f (A) = AT para qualquer A ∈ Mm×n (R).
Prove que f ´e uma aplica¸c˜ ao linear.
6. Sejam f : E −→ E e g : E −→ E aplica¸c˜oes lineares e sejam α, β ∈ K. Prove que:
(a) f + g ´e uma aplica¸c˜ ao linear.
(b) αf ´e uma aplica¸c˜ ao linear.

(c) αf + βg ´e uma aplica¸c˜ao linear.

7. Seja f : E −→ E uma aplica¸c˜ao linear. Prove que:
(a) Nucf ´e um subespa¸co vectorial de E.

(b) Imf ´e um subespa¸co vectorial de E .

8. Determine uma base do n´ ucleo e uma base da imagem da aplica¸c˜ao linear f : R3 −→ R4 tal que f (x, y, z) = (y − z, 2x + 2z, 4y − 4z, x + y).

9. Considere a aplica¸c˜ ao linear f : R3 −→ R3 tal que f (x, y, z) = (2x−y +3z, x+z, y −z).
Verifique se (3, 3, 0) pertence a Imf .
10. Determine o n´ ucleo, uma base do n´ ucleo e uma base da imagem de cada uma das aplica¸c˜ oes lineares do exerc´ıcio 4. Indique se cada uma das aplica¸c˜oes ´e

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