Cap 1 respondido diva flemming

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RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS

2

CAPÍTULO I
Seguem as sugestões de solução dos exercícios da lista 1.6. Observamos que em alguns
exemplos existem mais de um caminho ou maneira para chegar à solução. Apresentamos
somente uma opção.

SEÇÃO 1.6 – p. 10
1. Determinar todos os intervalos de números que satisfazem as desigualdades abaixo.
Fazer a representação gráfica.
a) 3 − x < 5 + 3 x
− x− 3x < 5 − 3
− 4x < 2
4x > − 2
x >−2 4
x > −1 2

(−1 / 2 , + ∞)
1− x
13
+ x+
34
3
1− x 1
3
2x − x −
< +5
4
3
3
24 x − 9 x − 4(1 − x ) 1 + 15
<
12
3
24 x − 9 x − 4 + 4 x 16
<
12
3
1 9 x − 4 16
<
12
3

b) 2 x − 5 <

3

1 9 x 16 4
<
+
12
3 12
1 9 x 17
<
12
3
57 x < 204
204
57
68
x<
19

x<

(−∞ , 68 / 19)

c) 2 > − 3 − 3 x ≥ − 7

2 + 3 > − 3x ≥− 7 + 3
5 > − 3 x ≥ −4
5
4
0 ⇒ 20 < 3x ∴ x > 20 3
Solução 1° caso: (0, + ∞ )∩ (20 3 , + ∞ ) = (20 3 , + ∞ )

2° caso: x < 0 ⇒ 20 > 3x ∴ x < 20 3

4
Solução 2° caso:

(− ∞, 0 )∩ (− ∞, 20 3) = (− ∞, 0)

Solução final: (− ∞, 0 ) ∩ (20 3 , + ∞ ) ou x ∉ [0, 20 3]

e) x 2 ≤ 9

x2 − 9 ≤ 0
(x − 3)(x + 3) ≤ 0

1° caso:
x −3≥0
x≥3

e

x +3≤0
x ≤ −3

Solução 1° caso: (− ∞, − 3]∩ [3 + ∞ ) = o
/
2° caso:
x −3≤0
x +3≥0
e
x≤3
x ≥ −3
Solução 2° caso: (− ∞, 3] ∩ [− 3 + ∞ ) = [− 3, 3]
Solução final: [− 3, 3]

f) x 2 − 3 x + 2 > 0

(x − 1) (x − 2) > 0
x ∉ [1, 2]

5

g) 1 − x − 2 x 2 ≥ 0
2x 2 + x − 1 ≤ 0

(x + 1) (2 x − 1) ≤ 0
x ∈ [− 1, 1 2]

h)

x +1
x
<
2− x 3+ x

1° caso:
2−x>0
x0

e

x > −3

(− ∞, 2) ∩ (− 3, + ∞ ) = (− 3, 2)

(x + 1)(3 + x ) < x (2 − x )
3x + x 2 + 3 + x < 2 x − x 2
2 x 2 + 2 x + 3 < 0 ⇒ não existe x que satisfaz

2° caso:
2−x>0
x x (2 − x )
2 x 2 + 2 x + 3 > 0 ⇒ x ∈ IR

3+ x0
x > −3

(− 3, + ∞ ) ∩ (2, + ∞ ) = (2, + ∞ )
2 x 2 + 2 x + 3 > 0 ⇒ x ∈ IR

(− ∞, + ∞ ) ∩ (2, + ∞ ) = (2, + ∞ )
4° caso:
2−x2
(2, + ∞ ) ∩ (− ∞ ,−3) = 0
/

e

3+ x x 2 + x

x3 − x2 − x + 1 > 0

(x − 1)2 (x + 1) >0
Portanto,
x +1> 0

(

ou

x > 1.

)

j) x 2 − 1 ( x + 4 ) ≤ 0

(x − 1) (x + 1) (x + 4) ≤ 0

7
1° caso:
x −1≤ 0
x ≤1

x +1≤ 0

,

e

x ≤ −1

x+4≤0
x≤ −4

Solução: (−∞, − 4]
2° caso:
x −1≥ 0
x ≥1
/
Solução: 0

x +1≥ 0

,

3° caso:
x −1≤ 0

x ≤1

e

x ≥ −1

,

x +1≥ 0

e

x ≥ −1

x+4≥0
x≥ −4

x+4≥0
x≥−4

Solução: [− 1, 1]
4° caso:x −1≥ 0

x ≥1
Solução: 0
/

,

x +1≥ 0

e

x ≥ −1

x+4≥0
x ≤ −4

Solução final: (− ∞, − 4] ∪ 0 ∪ [− 1, 1] ∪ 0 = (− ∞, − 4] ∪ [− 1, 1]
/
/

k)

x+2
2

≤1
x −2 x − 2

1° caso: x − 2 > 0 ⇒

x>2

2 ≤ x + 2 ≤ (x − 2)
2−2≤ x≤ x −2−2
0≤ x≤ x−4
0
/
2 caso: x − 2 < 0 ⇒

x3

9

x < 4 ( x − 3)
x < 4 x − 12
x − 4 x < − 12
− 3 x < −12
3 x < 12
x 4 ( x − 3)
x> 4 x − 12
x − 4 x > − 12
− 3 x > −12
3 x > 12
x>4
Solução 2° caso: (− ∞, 3)
Solução final: (− ∞, 3) ∪ (4, + ∞ )
x ∉ [3, 4]

n)

1 2x − 3
>1
4+x

1° caso: 4 + x > 0 ⇒
1
x−3>4+x
2
1
x − x > 4 +3
2
1
− x>7
2
x < − 14

x >−4

10

Solução 1° caso: 0
/
2° caso: 4 + x < 0 ⇒ x < − 4
1
x −3< 4+ x
2
1
x − x < 4 +3
2
1
x > −7
2
x > − 14
Solução 2° caso: (− 14, −4)
Solução final: (− 14, − 4)

o)

3
≤2
x −5

1° caso: x − 5 > 0 ⇒ x > 5

3 ≤ 2 ( x − 5)
3 ≤ 2 x − 10
− 2 x ≤ −13
2 x ≥ 13
x ≥ 13 2
Solução 1° caso: [13 2 , + ∞ ]
2° caso: x − 5 < 0 ⇒ x < 5
3 ≥ 2 ( x − 5)
x ≤ 13 2

11
Solução 2° caso: (− ∞, 5)
Solução final: (− ∞, 5) ∪ [13 2 , + ∞ )

x ∉ [5 , 13 2)

p) x 3 − x 2 − x − 2 > 0

(x − 2) (x 2

)

+ x +1 > 0

x−2>0 ⇒x>2

q) x 3 − 3 x + 2 ≤ 0

(x

2

)

− 2 x + 1 (x + 2) ≤ 0

(x − 1)2 (x + 2) ≤ 0
x + 2 ≤ 0 ⇒ x ≤ −2
Solução Final: (−∞ , − 2] ∪ {1}

r)

1
3

x +1 x − 2

1° caso:
x +1> 0
x > −1

e

x−2>0
x>2

ou (2, + ∞ )

12

x − 2 ≥ 3 ( x + 1)
x − 2 ≥ 3x + 3
x − 3x ≥ 3 + 2
− 2x ≥ 5
x ≤ −5 2
Solução 1° caso: 0
/
2° caso:
x +1< 0
x < −1
x − 2 ≥ 3( x + 1)...
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