Campo elétrico de um anel carregado

Seja uma carga elétrica Q distribuída uniformemente sobre um anel, com um raio a, e cortado ao centro por um eixo vertical Z, na qual necessitamos do cálculo do campo eletromagnético em um ponto P específico sobre esse eixo:

Figura 1

Observando que todo o anel está carregado, primeiramente devemos considerar apenas um ponto qualquer sobre o mesmo, na qual chamaremos de dQ, formando uma distância r do ponto P e um ângulo α.
Sendo dQ uma carga positiva, obteremos um vetor dE sobre o ponto P:

Decompondo o vetor dE podemos notar o vetor dE(Z) criado sobre o eixo vertical Z, e o vetor dE(H), paralelo ao anel no eixo horizontal, obtendo um ângulo α:

Figura 3
Figura 2

Nosso interesse não é a obtenção do campo eletromagnético gerado sobre o ponto P gerado por um pequeno ponto dQ, mas sim o campo elétrico gerado por todo o anel.
Obtendo um segundo ponto dQ(2), oposto a dQ, temos um mesmo campo elétrico gerado sobre o ponto P, com sentidos opostos, onde os vetores horizontais dE(H) se anulam, concluindo que para o cálculo do campo eletromagnético gerado pelo anel em um ponto P, devemos desconsiderar as componentes horizontais dE(H):

Pela lei usual dos campos elétrico, temos:

Como nosso interesse é apenas o cálculo das componentes verticais, visto que as horizontais se anulam, temos:

Figura 4

O seguinte triangulo retângulo pode ser observado:

Podemos notar através de Pitágoras que:

E através do ângulo α:

Figura 5

Aplicando as duas fórmulas mencionadas acima, na formula de dE(Z):

Integrando os dois lados temos:

Sabendo que K é uma constante, assim como a altura até o ponto P, chamada de Z, e o raio chamado de r, simplificando a equação:

Resolvendo as integrais, chegamos ao resultado final:

Da forma mais usual, utilizando a Lei de Coulomb, temos (ξo = permissividade do meio): 3. CONCLUSÃO

Concluímos, que o campo eletromagnético gerado por uma anel carregado, pode ser