calculo

Aula 20
Aplica»c~
oes selecionadas da integral de¯nida 20.1

¶
Area
de uma regi~ ao plana

Suponhamos que f e g s~ao duas fun»c~oes cont¶³nuas no intervalo [a; b], sendo f (x) ¸ g(x), para todo x 2 [a; b].
Para x 2 [a; b], consideramos, apoiada µa esquerda no ponto x, uma fatia retangular vertical, de base ¢x, e altura h(x) = f (x) ¡ g(x), como na ¯gura 20.1. A ¶area dessa fatia ser¶a dada por ¢A = [f (x) ¡ g(x)]¢x. y = f(x)

y
∆ A = [f(x) - g(x)] ∆ x

y = g(x) a x

b

x

∆x

Figura 20.1.
Se subdividirmos o intervalo [a; b] em v¶arios sub-intervalos de comprimento ¢x, e sobre cada um deles constru¶³rmos uma ¶area ¢A, como acima, teremos a ¶area entre as duas curvas, compreendida entre as retas verticais x = a e x = b, dada aproximadamente por X
X
¢A =
[f(x) ¡ g(x)]¢x
180

181

~ es selecionadas da integral definida
Aplicac
»o onde, pelo bem da simplicidade, estamos omitidindo ¶³ndices do somat¶ario.

A ¶area entre as duas curvas, compreendida entre as retas verticais x = a e x = b, ser¶a dada pelo limite de tais somas integrais, quando ¢x ! 0, ou seja, ser¶a dada por
Z b
X
A = lim
[f (x) ¡ g(x)] dx
[f(x) ¡ g(x)]¢x =
¢x!0

a

Sendo ¢A = [f (x) ¡ g(x)]¢x, ¶e costume simbolizar dA = [f (x) ¡ g(x)]dx.
Rb
Temos ent~ao A = a dA.
¶ costume dizer que dA = [f(x) ¡ g(x)] dx ¶e um elemento in¯nitesimal de ¶area,
E
de altura f(x) ¡
R g(x), sobre um elemento in¯nitesimal de comprimento dx. O s¶³mbolo de integra»c~ao, , prov¶em da forma de um arcaico S, e tem o signi¯cado de \soma (veja
R
isto: oma) de um n¶umero in¯nito de quantidades in¯nitesimais" . Assim, se f(x) ¸ 0,
Rb
f (x) dx corresponde, grosso modo, a uma soma de elementos in¯nitesimais de ¶area, a de alturas f(x), e base dx, com x \variando" de a at¶e b.
Exemplo 20.1 Calcular a ¶area delimitada pelas curvas y = x2 e y =

p
x.

y y=√ x
1

y = x2
0

1

x

Figura 20.2.
Solu»c~ao. As curvas dadaspse interceptam em x0 = 0 e em x1