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II.0 Limites de funções
No Ensino Secundário foi dada uma definição de limite de função recorrendo aos limites de sucessões. É costume designá-la por definição de limite segundo Heine, em homenagem ao matemático alemão Heinrich Eduard Heine (1821-1881). Recordemo-la. Seja f uma função definida num intervalo aberto contendo o ponto a, podendo não estar definida no ponto a, e seja b um número real.Diz-se que o limite de f(x) quando x tende para a é b e escreve-se

lim f ( x) = b
x →a

se e só se, para toda a sucessão (xn ) que tenda para a por valores diferentes de a, a sucessão (f (xn )) tende para b. Simbolicamente
(x n )

∀ [(x n ) → a ∧ x n ≠ a ]⇒ (f (x n ))→ b

Notemos que esta definição é muito geral, abrangendo também todos os casos de limites infinitos. Além do mais, a partir destadefinição é fácil provar teoremas sobre o limite de uma soma, um produto, um quociente ou uma raiz. Contudo, para

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demonstrar outros resultados de que precisaremos, é mais conveniente introduzir outra definição. Definição II.0.1 (segundo Cauchy) Seja f uma função definida num intervalo aberto contendo o ponto a, podendo não estardefinida no ponto a. Seja b um número real. Diz-se que o limite de f(x) quando x tende para a é b , se e só se, para todo o ε > 0 podemos encontrar um número δ > 0 tal que, para todo o x do domínio de f, se x é tal que 0 < x − a < δ então f (x) − b < ε . Simbolicamente
ε >0 δ > 0



∃ : ∀ 0 < x − a < δ ⇒ f ( x) − b < ε
x ∈D f

Pode-se provar (não o faremos aqui) que as duas definições são equivalentes.O matemático inglês G. H. Hardy, um apaixonado pelo criquete, o desporto nacional britânico, dizia que, para se entender bem a noção de limite, é preciso pensar numa competição entre um herói e um bandido. O herói tenta provar que lim f ( x) = b enquanto que o bandido tenta provar o contrário. O bandido escolhe x →a épsilons à sua vontade enquanto o herói tenta encontrar deltas de modo que paratodo o x tal que 0 < x − a < δ ele consiga ter que f (x) − b < ε . O herói ganhará o jogo (e provará assim que lim f ( x) = b ) quando, para qualquer ε escolhido pelo
x →a

bandido, conseguir encontrar sempre um δ nas condições pretendidas. O bandido ganhará, pelo contrário, quando conseguir encontrar um ε para o qual o herói não consiga encontrar um δ que satisfaça o pretendido. Podemos aindaenunciar esta definição de outros modos equivalentes: i) para cada ε > 0 podemos encontrar pelo menos um número δ > 0 tal que, para todo o x do domínio de f, se x é tal que a - δ < x < a + δ (e x é diferente de a) então b − ε < f (x) < b + ε ; ii) para qualquer ε > 0 podemos encontrar algum número δ > 0 tal que, para

______________________________________________________25 todo o x do domínio de f,se x pertence ao intervalo ]a − δ , a + δ [ (e x é diferente de a) então f(x) pertence ao intervalo ]b − ε, b + ε[ . Graficamente, diremos que o limite de f(x) quando x tende para a é b se e só se, qualquer que seja o intervalo ]b − ε, b + ε[ traçado no eixo dos YY, podemos encontrar algum intervalo ]a − δ , a + δ [ no eixo dos XX, tal que os x desse intervalo (excepto o ponto a) são transformadospor meio de f em pontos que caem dentro do intervalo ]b − ε, b + ε[ .

b+ ε

f

b

b- ε a-δ a a+δ

Dito de outro modo: por mais pequeno que seja o intervalo ]b − ε, b + ε[ traçado no eixo dos YY, podemos sempre encontrar algum intervalo ]a − δ , a + δ [ no eixo dos XX, tal que os x desse intervalo (excepto o ponto a) são transformados por meio de f em pontos que caem dentro do intervalo ]b − ε, b+ ε[ . Observemos que não podemos simplesmente dizer que f(x) se aproxima de b quando x se aproxima de a. Por exemplo

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f (x) = 10 − 5x

aproxima-se de 20 à medida que x se aproxima de zero, e no entanto não parece ter sentido dizer que o limite é 20 (porque então podíamos pôr 50 ou 100 ou outro número superior a 10 no lugar de 20, e a...
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