Calculo

Derivadas

Reta Secante Reta Tangente

Inclinação da Reta

m=tgα

m=tgα=fx+h-f(x)h m → Inclinação da Reta

Derivada da função f no ponto x: f'(x)=limh→0fx+h-f(x)h Cálculo de Derivadas

Função Constante

1)

fx=k,k∈R f'x=limh→0fx+h-fxh=k-kh=0 Logo a derivada de qualquer número é igual a 0.

2)

fx=x f'x=limh→0fx+h-fxh=x+h-xh=hh=1 3)

fx=x2 f'x=limh→0fx+h-fxh=x+h2-x2h=x2+2xh+h2-x2h f'x=limh→02xh+h2h=h(2x+h)h=2x+h=2x

4)

fx=x3 f'x=limh→0fx+h-fxh=x+h3-x3h=x3+3x2h+3xh2+h3-x3h f'x=limh→03x2h+3xh2+h3h=h(3x2+3xh+h2)h=3x2+3xh+h2=3x2

Logo a derivada de xn é igual a nxn-1.

Determine a derivada das seguintes funções:

fx=1x3=x-3 f'x=-3x-3-1=-3x-4=-3x4 fx=x=x12 f'x=12x12-1=12x-12=12x12=12x c) fx=1x=1x12=x-12 f'x=-12x-12-1=-12x-32=-12x32=-12x3

Derivadas Superiores

2º Derivada: y'' ou f'' ou y(2) ouf(2).

Considere a função y=x6 determine y'''.

y'=6x5 y''=30x4 y'''=120x3

Obs.: Notação para derivada

y',f',dydx y'',f'',d²ydx² Propriedades Operatórias da Derivada

• Soma ou Diferença

f±g'=f'+g'

Exemplo:

y=-4x2+1x+7 y'=-4x2=-8x y'=1x=-1x2 y'=7=0 y'=-8x-1x2

• Produto

y=u.v→y'=u'.v+u.v'

Exemplo:

y=3x+1.(x2-2) y'=3x2-2+2x3x+1=3x2-6+6x2+2x=9x2+2x-6 • Divisão

y=uv→y'=u'.v-u.v'v2

Exemplo:

y=-72+1x-2 y'=-14xx-2--72+11(x-2)2=-14x2+28x+7x2-1x2-4x+4=-7x2+28x-1x2-4x+4 Determine y'':

y=-2x2+13x2-1

y'=-4x3x2-1--2x2+16x(3x2-1)2=-12x3+4x+12x3-6x(3x2-1)2 y'=-2x(3x2-1)2=-2x9x4-6x2+1 y''=-29x4-6x2+1--2x36x3-12x9x4-6x2+12=-18x4+12x2-2+72x4-24x2(9x4-6x2+1)2 y''=54x4-12x2-2(9x4-6x2+1)2 Derivadas de Funções Trigonométricas

y=senx→y'=cosx y=cosx→y'=-senx y=tgx→y'=sec2x y=secx→y'=secx.tgx y=cossecx→y'=-cossecx.cotgx y=cotgx→y'=-cossec2x Exemplos:

y=x2.tgx y'=2x.tgx+x2.sec2x y=secx y'=secx.tgx y''=secx.tgx.tgx+secx.sec2x=secx.tg2x+sec3x

y=cosxx y'=-senx.x-cosx.1x2=-xsenx-cosxx2 Função Composta

fx=x2 gx=x+3 fgx=(x+3)2=f∘g
gfx=x2+3=g∘f