Calculo

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Cálculo 1
S. Friedli
Departamento de Matemática Instituto de Ciências Exatas Universidade Federal de Minas Gerais

Versão: 6 de agosto de 2012

Apostila em acesso livre em

www.mat.ufmg.br/~sacha

no formato pdf. Disponível também, impressa

frente/verso e encadernada, na copiadora da praça dos serviços da UFMG.

ii

Versão: 6 de agosto de 2012. Sugestões, críticas e correções:sacha@mat.ufmg.br

Sumário
1 Fundamentos
1.1 Números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 1.2 Equações do primeiro e segundo grau . . . . . . . . . . . . . . .

3
3 4 6 7 7 10 11 14 15 15 16 18

Ordem e intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Inequações e sinal

O plano cartesiano 1.2.1 1.2.2 Retas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Círculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3

Trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 1.3.1 1.3.2 1.3.3 Medir ângulos no plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Seno, cosseno e tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Identidades trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Funções
2.1 Denição e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 2.2 Limitação . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .

21
21 23 24 27 29 30 31 34 35 37 39 40

Gráco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 Potências inteiras:

xp

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Paridade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Transformações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 2.4

Montar funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Composição, contradomínio e imagem 2.4.1 2.4.2 2.4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Bijeção, função inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Inversos das potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . Funções trigonométricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Exponencial e Logaritmo
3.1 3.2 3.3 3.4 Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A base

45
46 51 54 56

e a P; UIV:::

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Funçõestrigonométricas hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

SUMÁRIO

4

Limites
4.1 Limites 4.1.1 4.1.2 4.2 4.3 4.4

limx3¦I f @xA

59
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 62 64 68 71 72 74 74 75 77 78 79 81 82 83

A denição de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Limitesinnitos

limx3a¦ f @xA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Limites limx3a f @xA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Limites laterais: Indeterminações do tipo   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 4.4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

H H @xChAn  xn O limite limh3H sen x h . . . Olimite limx3H
x

4.5 4.6 4.7 4.8 4.9

Limites laterais innitos, assíntotas verticais . . . . . . . . . . . . . . . . Mudar de variável O limite 4.8.1 Continuidade

e a limx3I

. . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
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