Calculo

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50

Exercícios resolvidos

Vibrações
1.Um oscilador harmónico tem movimento segundo a equação
x(t) = 20 cos (

π
π
t − ) cm.
2
4

Determine:
1.1

a velocidade e aceleração para t = 0,5 s;

1.2

a velocidade e aceleração máximas;

1.3

as condições iniciais.

Resolução

x(t) = 20 cos (
v(t) = -20x

ππ
t - ) cm
24

π
ππ
sen ( t - ) cms-1
2
24
2

ππ
πa(t) = -20x   cos ( t - ) cms-2 ou
24
2
1.1

2

π
a=− ω x=−   x
2
2
o

em t = 0,5 s

v(t) = -20x

π
ππ
sen ( - )= 0 cms-1
2
44
2

ππ
π
a(t) = -20x   cos ( - ) = - 49,3 cms-2
44
2
1.2

vmax = ωo A=

π
2

x

20 = 10 π cms-1

π
amax= ω A=  
2
2
o

1.3

2

x

20 = 49,3 cms-2

em t = 0

2
 π
xo = A cos ϕo = 20 cos  −  =20
= 14,1 cm
2
 4

π
2

vo = -ωo A sen ϕo = −
π
ao = − ω xo = −  
2
2
o

Mecânica Física

2

x

2
 π
= 22,2 cms-1
20 sen  −  = 10 π
2
 4

π
x 14,1=  
2

2

x

14,1 = − 34,5 cms-2

ACF-DEM

51

Exercícios resolvidos

Uma partícula de 8 g tem movimento harmónico simples com 12 cm de

2

amplitude e frequência de 80 Hz. No instantet = 2 s a partícula ocupa a posição x =
6 cm com velocidade (+).
Calcule:
2.1

a equação da elongação x(t);

2.2

a força de restituição máxima;

2.3

a energia mecânica da partícula;

2.4

a energia cinética e potencial no instante inicial.

Resolução

2.1

x = 6 cm ∧

m =8 g; A = 12 cm; f = 80 Hz. No instante t = 2 s

v> 0

A equação da elongação é x = A cos (ωot+ϕo)ωo = 2πf = 160π rads-1
Em t = 2 s
6 = 12cos (320π+ϕo) ⇒ cos (320π+ϕo) = 0,5
320π+ ϕo = −

π
+2nπ
3

v

320π+ ϕo =

π
+2nπ
3

Como v > 0 ⇒ sen (320π+ϕo) < 0 ⇒ 320π+ ϕo = −
x = 0,12 cos (160πt −

π
)m
3

com n inteiro
π
π
+2nπ ⇔ ϕo = −
3
3

(Frest)max = K A = m ω2 A = 8x10-3 x1602 x π2x0,12 = 242,56 N
o

2.2

Frest = -Kx

2.3

E mec =

2.4

xo = 0,12cos( −

E po =

1
1
1 14,55
Kx 2 = KA 2 cos 2 ϕ o = E mec × =
= 3,64 J
o
2
2
4
4

(F ) × A 242,56 × 0,12
1
KA 2 = rest max
=
= 14,55 J
2
2
2

E co = E mec − E po =

3

π
) = 0,06 m
3

3
E mec = 10,91 J
4

São dadas as condições iniciais da vibração de uma particula de 20 g:
xo = -20 cm; vo = 180 cms-1 e ao = 180 ms-2.
3.1. Determine:
ACF-DEM

Mecânica Física 52

Exercícios resolvidos

3.1.1 as grandezas fundamentais da vibração;
3.1.2
3.2

a constante de restituição.

Represente os vectores girantes no instante inicial e em t = 1,5 s.

Resolução

v2
a = −ω x ; A = x + 2
ωo
2

2
o

3.1.1

2
2
180 = −ωo (−0,2) ⇒ ωo = 900 ⇒ ωo = 30 rads −1

1,8 2
= 0,209 m
900
− 0,2
cos ϕ o =
= −0,958 ⇒ ϕ o = 163,3o = 2,85rad ∨ ϕ o =−163,3o = −2,85 = 3,43rad
0,209
como vo> 0 senϕo < 0 ⇒ ϕo = -163,3o
A = 0,2 2 +

3.1.2
3.2

2
K = m ω o = 0,02x900 = 18 Nm-1

em t = 0 a representação gráfica dos vectores girantes associados a

( Zxo, Zv0 e Za0) é a seguinte:
ω o=30rads-1

x, v e a

I

196,7

Zxo

2
A ωo = 188,10 ms-2

o

Zao
R
Aωo= 6,27 ms-1

90o
A=0,209 m

Zvo

Em t = 1,5 s a fase da vibraçãoé ϕ = ωot + ϕo=30x1,5 + 3,433=45 + 3,433 rad
A representação dos vectores girantes é obtida a partir da anterior com uma rotação
dos mesmos de 45 rad ou 2578,3o = 7,16x360o = 7x360o + 58,3o
I

255

o

Za
2
A ωo = 188,10 ms-2

Zv
90o
A=0,209 m

Zx
Mecânica Física

R

Aωo= 6,27 ms-1
ω o=30rads-1
ACF-DEM

53

Exercícios resolvidos

4

Uma partícula de 20 g adquirevibração harmónica com a pulsação de

π
rads-1
2

e a aceleração máxima da partícula é de 1,23 ms-2. Sabe-se que para t =0
xo = 25 cm e vo>0.
4.1 Represente os vectores girantes associados a x, v e a quando se verificar
v = a, algebricamente.
4.2 Expresse as energias em função da elongação e represente graficamente.
Resolução

4.1 Para encontrar as expressões da elongação x = A cos...
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