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MÉTODO do PONTO FIXO
É talvez o método mais simples e encontra-se na base de outros métodos. A ideia principal consiste em estabelecer uma equivalência adequada:
f(x) = 0      x = g(x)
e a partir daqui,
Escolher uma iterada inicial x0 |
Iterar xn+1 = g(xn ) |
Considerando g contínua, se o método convergir, converge para um certo z (a que chamamos ponto fixo de g ) tal que:
z = g(z)este ponto z, pela equivalência estabelecida, será uma raiz da equação, ou seja f(z) = 0.
Geometricamente, podemos ter as seguintes situações:

.

Definição: 
Uma função g contínua em [a, b] diz-se Lipschitziana se existir um L > 0 tal que :
| g(x) - g(y) | < L | x - y | ,    x, y  [a, b]
Se L < 1 a função diz-se Contractiva.

Proposição: 
Se g é uma função diferenciável em [a,b], e temos |g'(x)| < L < 1, para x em [a, b], então a função g é contractiva nesse intervalo.
dem: 
Usando o T. Lagrange, sabemos que, para quaisquer x, y em [a,b]
| g(x) - g(y) | = |g'()| |x-y| , para um certo  em ]x, y[  [a, b]
concluimos, aplicando a hipótese.

Teorema (do ponto fixo num intervalo limitado). 
Seja g uma função contínua em [a, b]. 
Se g for contractiva em [a,b], e se g([a, b]) [a, b] , então:
* g tem um e um só ponto fixo z em [a,b]
* a sucessão xn+1 = g(xn) converge para esse ponto fixo z, dado qualquer x0 em [a, b].
* temos ainda as seguintes majorações de erro:
* | z - xn | < Ln | z - x0 |
* | z - xn | < 1/(1- L) | xn+1 - xn |
* | z - xn | < Ln/(1- L) | x1 - x0 |
dem:
 Existência (de ponto fixo)Consideramos uma função auxiliar h(x) = g(x) - x , contínua,
como g([a, b])  [a, b] temos g(a) > a, g(b)< b assim h(a) h(b) < 0.
Logo, pelo T.Valor Intermédio, existe um z : h(z) = 0, ou seja g(z)=z.
 Unicidade (do ponto fixo)
Supondo que g é contractiva e z e w são pontos fixos de g em [a,b] , temos:
| z - w | = | g(z) - g(w) | < L |z - w|,
logo (1 - L) | z - w | < 0 e como L< 1 podemos concluir que | z - w |=0, ou seja, z=w.
 Convergência
É fácil ver por indução que se x0 pertence a [a,b], qualquer xn também pertence.
Basta reparar que xn+1= g(xn) e que g([a, b])  [a, b] .
Por outro lado, temos | z - xn+1 | = | g(z) - g(xn) | < L | z - xn |
Logo | z - xn+1 | < Ln+1 | z - x0 |  0, pois L < 1 e temos | z - x0 | < | a - b | 

Corolário: Seja g uma função C1( [a, b] ). 
Se
 g([a, b])  [a, b],
 L = max[a,b] | g'(x) | < 1
então as condições do T. Pto. Fixo são verificadas e temos:
 g tem um e um só ponto fixo z em [a,b]
 A sucessão xn+1 = g(xn) converge para esse ponto fixo z, dado qualquer x0 em [a, b].

Observação: 
Para além disto, nas condições do Teorema do Ponto Fixo, temos :
 Se 0 < g'(x) < 1 então aconvergência é monótona (ou seja, as iterações ficam todas à direita [à esquerda] da raiz, se a iterada inicial estiver à direita [à esquerda] da raiz).
 Se -1 < g'(x) < 0 então a convergência é alternada (ou seja, as iterações vão ficar alternadamente à esquerda e à direita da raiz)
 
 
Nota: Portanto, no caso de asseguramos convergência alternada, sabemos que a raiz irá sempre pertencera intervalos em que os extremos são xn e xn+1.

Teorema (Divergência): 
Seja g uma função diferenciável tal que | g'(x) | > 1 em [a,b]. 
Neste caso, a sucessão xn+1= g(xn) não pode convergir para 
um ponto fixo z de g situado nesse intervalo (a única excepção 
será se, numa certa iterada, obtivermos "acidentalmente" o ponto fixo z ).

Teorema (Convergência Local): 
Seja z um ponto fixode g, função diferenciável numa vizinhança de z, 
tal que |g'(z)|<1, então a sucessão xn+1=g(xn) converge para z, 
desde que x0 esteja suficientemente próximo de z.

Definição (Ordem de Convergência): 
Consideremos uma sucessão (xn) convergente para z. Ao valor p tal que:
  lim 
m  |  |em+1|   |em| p |  = K  (com 0 < K <  |
chamamos ordem de convergência, e ao valor...
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