Calculo

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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I Material para: 2ª. Avaliação ( 21/10/2009

Antes de resolver as questões que seguem, deduzir...
➢ Se g(x) = xn ( g´(x) = nxn – 1, qualquer real n.
➢ Se g(x) = c.p(x) ( g´(x) = c.p´(x), sendo c uma constante.
➢ Se g(x) = r(x) ( s(x) ( g’(x) = r’(x) ( s’(x)
➢ Se g(x) = r(x).s(x) ( g´(x) = r’(x).s(x) + r(x).s’(x)
➢ Seg(x) = p(x)/q(x), com q(x) ( 0 ( g’(x) = [p’(x).q(x) – p(x).q’(x)]/q²(x)
➢ Se g(x) = p(q(x)) ( g’(x) = p’(q(x)).q’(x)
➢ Se g(x) = ex ( g’(x) = ex
➢ Se g(x) = lnx ( g’(x) = 1/x
➢ Se g(x) = senx ( g´(x) = cosx
➢ Se g(x) = cosx ( g’(x) = - senx
➢ Expressões para as outras trigonométricas...

01). Derive, após obter as funções:
A) Considere um círculo de raio igual a xcm, se um quadrado está inscrito neste círculo, determine a área A do quadrado em função de x. Faça um esboço do seu gráfico.
B) Dado um pedaço de papelão quadrado com 12 cm de lado, tira-se de cada canto do papelão, quadrados com x cm de lados e os bordos são dobrados de modo que forme uma caixa sem tampa. Determine o volume V da caixa em função de x, indicando o domínio e a imagem.

02) Atemperatura T, em graus centígrados, do forno de uma padaria varia, a partir do momento em que é ligado, de acordo com a equação: [pic].
a) A que temperatura está o forno quando é ligado?
b) Como evolui a temperatura com o tempo?
c) Para que valor vai tender a estabilizar a temperatura?
d) Qual é a taxa de aquecimento do forno no momento em que é ligado? E aos 10 minutos? E ao fim de uma hora?Nos exercícios a seguir, calcule as derivadas primeira e segunda da função dada, usando fórmulas de derivação:
03). [pic] 04). [pic] 05).[pic]
06). [pic] 07). [pic] 08). w(x) = sen²(x)
09). R(x) = tg(x) – cotg(x) 10).[pic] 11). U(x) = ln(x² + 1)

12). Uma das aplicações das derivadas é a obtenção da equação de retas tangentes a determinadas curvas em um ponto. Obter a equação da retatangente a cada uma das curvas abaixo no ponto P indicado:
a) y = x² + 2x + 1, P(1, 4) b) y = x/(x² + 1), P(0, 0)
c) y² + x² = 1, P(1, 0) d) x² - y² = 1, P(-1, 0)
e). y = tg(1 – x²), em x = 1 f) y = ln(x² + 1), em x = 1

13). Em Economia, a função custo marginal é a derivada da função custo total associada à produção de um bem, e na qual x representa a quantidade produzida. Determinar afunção custo marginal em relação às seguintes funções custo total (CT):
a) CT = 2x + 100 b) CT = (4x + 24)1/2 + 30

14).
a) Seja uma função real g derivável e f(x) = g[5 + ln(x² + 1)]. Determine o valor de f ’(1) sabendo que g’(5 + ln2) = 2.
b) Seja f uma função derivável e g(x) = f(e2x). Calcule g´(0) se f ’(1) = 2

15). Uma partícula move-se ao longo de uma reta de acordo com aequação de movimento, s = 5 – 4cos²t, onde s metros é a distância orientada da partícula desde a origem em t segundos. Se v (m/s) e a (m/s²) são, respectivamente, a velocidade e a aceleração da partícula, encontre v e a. Lembre-se: v = ds/dt e a = dv/dt.

16). Se a função de demanda de um bem é dada por p = (a – bx)1/2, onde p é o preço, x a quantidade demandada e a e b são constantes positivas,demonstrar que a elasticidade de demanda, Ex, dada por: [pic], decresce com o aumento de x e que Ex = - 1 quando o valor de x for igual a 2a/b.

17). O processo usado para se aumentar um capital é denominado formação de capital. Se este processo é considerado como sendo contínuo ao longo do tempo, o capital pode ser expresso como uma função do tempo k(t), e a taxa de formação de capital é, então,dada por k’(t). A taxa de formação de capital no instante t é igual à taxa de fluxo de investimento líquido no instante t, denotada por I(t).
Determine I(t) se K(t) = 5t² + 7

18). Com uma folha de papelão quadrada de lado 15 cm, cortando-se partes quadradas nos cantos e dobrando-as, deseja-se construir uma caixa aberta, do tipo de uma caixa de sapatos. O volume máximo que pode ter uma caixa...
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