Calculo I

gabarito EP02 - 1-2007

C´lculo I a Gabarito - EP 02 - C´lculo I a 1) Seja f : R −→ R a fun¸ao definida por c˜ 
 x+5



 x2 − 1 f (x) =





3−x

se

x < −2;

se

−2 ≤ x < 2;

se

x ≥ 2.

Calcule, se existir: lim f (x)

lim f (x)

x→−2−

lim f (x)

x→−2+

x→2−

lim f (x)

lim f (x)

lim f (x)

x→−4

x→2+

x→5

Fa¸a um esbo¸o do gr´fico de f . c c a Solu¸˜o: ca lim + f (x) = lim + x2 − 1 = 3

lim − f (x) = lim − x + 5 = 3

x→−2

x→−2

x→−2

lim f (x) = lim x2 − 1 = 3
−

x→2−

x→−2

lim f (x) = lim 3 − x = 1
+

x→2+

x→2

lim f (x) = 1

x→2

lim f (x) = −2

x→−4

x→5

Confira esses resultados com a informa¸˜o dada pelo gr´fico da fun¸˜o. ca a ca lim f (x) = 3, pois os limites laterais coincidem.

x→−2

O lim f (x) n˜o existe, pois os limites laterais s˜o diferentes. Em outras palavras, a fun¸ao a a c˜ x→2

f n˜o admite limite no ponto x = 2. a d t −2

2

Esbo¸o do gr´fico de f . c a

2) Calcule os seguintes limites:
a) lim t→0 sen 3t t b) lim

x→0

1 − cos 2x
4x

c)

1

lim

x→−π

sen 3x
(x + π)

1 − x2
d) lim √ t→−1 1 − x4

gabarito EP02 - 1-2007

C´lculo I a Solu¸˜o: ca sen 3t sen 3t
= lim 3
= 3. t→0 t→0 t 3t

a) lim

1 − cos 2x
(1 − cos 2x)(1 + cos 2x)
1 − cos2 2x
b) lim
= lim
= lim
=
x→0 x→0 4x (1 + cos x) x→0 4x
4x (1 + cos 2x) sen2 2x
=
x→0 4x(1 + cos x)

= lim
c)

lim sen 2x

lim

x→0

x→0

sen 2x
2x

lim

x→0

1
2(1 + cos x)

sen3x
−sen3h
sen(3h − 3π)
−sen3h
= lim
= lim
= lim 3
= −3. x→−π (x + π) h→0 h→0 h→0 h h 3h lim No item (c), fizemos uma mudan¸a de vari´vel: x = −π + h. c a
Portanto, h = x + π

e (x → −π ⇐⇒ h → 0).

1 − x2
d) lim √
=0
t→−1
1 − x4
3) Dada a fun¸ao definida por c˜  se x < 0;
 sen x




1
se x = 0; f (x) =





sen (3x) se x > 0. calcule os limites indicados se