Calculo i

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Cálculo II – Primeira Prova


QUESTÃO 1 (7 pontos)
A função [pic]é tal que [pic]. Com base nessas informações: (a) escreva a equação da função [pic]; (b) determine o valor de [pic] quando [pic];(c) escreva a equação da tangente ao gráfico de [pic]no ponto de abscissa [pic].

Solução

a) Determinação da função [pic]:
[pic]
Como [pic], podemos escrever:

[pic] . Com isso, [pic].Por sua vez, [pic].
Usando a condição [pic], temos:
[pic].


b) Para calcular o valor de [pic] quando [pic], fazemos:
[pic].
c) A equação da tangente é da forma [pic], em que[pic] e [pic].
Assim, a equação da tangente é:
[pic].









QUESTÃO 2 (7 pontos)

O gráfico abaixo apresenta a função [pic].
[pic]
Com base nessas informações: (a) determine afunção [pic]sabendo que [pic]; (b) escreva a equação da tangente ao gráfico de [pic]no ponto [pic] e desenhe essa reta no gráfico acima.


Solução
a) Para encontrar a função [pic], fazemos:[pic]
Usando a condição inicial [pic], temos:
[pic]
Desse modo, a função é [pic].
b) A equação da tangente é da forma [pic].
Como [pic], [pic]e o ponto de tangência é [pic].
Alémdisso, [pic].
A equação da tangente é: [pic]. Esta reta está desenhada no gráfico acima.

QUESTÃO 3 (7 pontos)

A velocidade de uma partícula que se move sobre uma reta horizontal é dada, emmetros por segundo, pela função [pic]. Com base nessas informações: (a) determine o deslocamento dessa partícula durante o intervalo dado; (b) calcule a distância percorrida pela partícula durante os dezprimeiros segundos; (c) estabeleça em que intervalo a partícula se move para a esquerda; (d) esboce o gráfico da função velocidade e o da função aceleração na mesma tela.

Solução
Começamos pordeterminar a função posição e a função aceleração. Para achar a função posição, fazemos: [pic]. Por seu lado, a função aceleração é: [pic].

Determinamos, também, a variação de sinal da função...
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