calculo vetorial e geometria analitica exercicios

Provas de C´ alculo Vetorial e Geometria
Anal´ıtica

Per´ıodo 2003.1

S´ ergio de Albuquerque Souza
8 de janeiro de 2013

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARA´IBA
CCEN - Departamento de Matem´ atica http://www.mat.ufpb.br/sergio a 1 Prova
Prof.:
Curso:
Per´ıodo: 03.1

C´alculo Vetorial e Geometria Anal´atica
Data: 29/Mai/2003
Nome:
Turma(s):

Turno: Manh˜a

Matr´ıcula:

1a Quest˜ ao Em um paralelogramo ABCD qualquer, sejam M e
N os pontos m´edios dos lados AB e AD, respectivamente. Mostre que: −−→ −−→ 3 −→
CM + CN = CA
2
2a Quest˜ ao Dados os pontos A = (1, 0, 1), B = (3, 0, 1) e
C = (1, 0, 3).
a) Verifique se A, B e C so vrtices de um tringulo.
b) Esse tringulo retngulo?
c) Determine a rea desse tringulo.
−
→
→
3a Quest˜ ao Considere os vetores − a = 2i − j, b = j + 2k e
−
→ c = i + 2j − k.
−
→ →
→
a) {− a , b ,− c } uma base para o R3? JUSTIFIQUE SUA RESPOSTA. Se verdadeiro, esta base ortogonal?
−
→
b) Escreva o vetor d = 4i + 2j − 4k como combinao linear dos
−
→ →
→
vetores − a ,b e− c √
→
→
4a Quest˜ ao Sabendo que ||− u || = 3, ||− v || = 1 e que 30o
→
→ medida do ngulo entre os vetores − u e− v , determine o ngulo entre
−
→
→
→
→
u +− v e− u −−
v.
Boa Sorte

RESPOSTAS
1a Quest˜ ao [2,0] Dados da quest˜ao:
• ABCD ´e um paralelogramo,
• M ´e ponto m´edio do lado AB e
• N ´e ponto m´edio do lado AD.
Na figura abaixo, considere:

−→
→
Considere os vetores − u = AB =
−
→
→
(2, 0, 0) e − v = AC = (0, 0, 2).
a) Existem 3 maneiras de verificar se os pontos s˜ao v´ertices de um triˆangulo:
→
→
1. Verificando que os vetores − u e− v s˜ao
LI.
De fato, os vetores s˜ao LI, pois ´e im→
→
poss´ıvel que − u = x− v com x ∈ R.
2. Calculando o ˆangulo entre os vetores
→
−
→
u e−
v.
→
Note que nesse caso, os vetores − u e
→
−
−
→
→
− v s˜ao perpendiculares, pois u . v =
2.0 + 0.0 + 0.2 = 0, logo s˜ao perpendiculares.

−−→ −→ −−→ −−→ −→ −−→
CM = CA