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Exerc´
ıcios de C´lculo Num´rico
a
e
Zero de Fun¸ao

1. Dˆ um exemplo de fun¸ao f (x), que tenha pelo menos uma raiz, que n˜o pode
e

a
ser determinada usando o M´todo da Bisse¸˜o.
e
ca
2. Dˆ um exemplo de fun¸ao f (x), que tenha pelo menos uma raiz, onde o M´todo
e

e
de Newton-Raphson n˜o converge.
a
3. A equa¸ao x2 − 7x + 12 = 0 tem 3 e 4 como ra´

ızes. Considerea fun¸ao de

2
itera¸˜o dada por ϕ(x) = x − 6x + 12. Determine o intervalo (a, b), onde
ca
para qualquer que seja x0 escolhido a sequˆncia xn+1 = ϕ(xn ) converge para a
e
raiz x = 3. Mostre que a convergˆncia ´ quadr´tica.
e
e
a
4. Para determinar a raiz quadrada de um n´mero c ≥ 0, basta resolver a equa¸˜o
u
ca
2
´ poss´ determinar sua raiz quadrada usando a fun¸ao de itera¸˜o
x−c = 0. E
ıvel

ca
ϕ(x) = c/x. Justifique a resposta.
5. As fun¸oes de itera¸oes ϕ1 (x) = x2 /2 − 2x + 4 e ϕ2 (x) = x2 /2 − 2.5x + 5, geram


sequˆncias convergentes para a raiz x = 2, para qualquer aproxima¸˜o inicial
e
ca
x0 ∈ (1.5, 3). Qual das duas fun¸oes geram sequˆncias mais rapidamente

e
convergente para esta raiz. Justifique a resposta.
6. Determine um intervalo (a,b) e uma fun¸˜o de itera¸˜o ϕ(x) associada, de tal
ca
ca
forma que ∀x0 ∈ (a, b) a fun¸ao de itera¸ao gere uma sequˆncia convergente


e
para a(s) raiz(es) de cada uma das fun¸˜es abaixo, usando o m´todo iterativo
co
e
−3
linear (MIL) com tolerˆncia ≤ 1.10 .
a

(a) f1 (x) = x − e−x
(b) f2 (x) = ln(x) − x + 2
(c) f3 (x) = ex/2 − x3
(d) f4 (x) = sen(x) − x2
(e) f5 (x) = x/4 −cos(x)
7. Determine a(s) raiz(es) da fun¸ao f1 (x), usando o m´todo da Bisse¸ao, M´todo

e

e
da Falsa posi¸ao e da Falsa posi¸ao modificada com tolerˆncia ε = 1.10−3 .


a
Quantas itera¸˜es foram necess´rias para cada um dos m´todos.
co
a
e
ızes
ıcio
e
8. Determine as ra´ do exerc´ (6), usando o M´todo de Newton-Raphson.
9. Determine as ra´ do exerc´ (6), usando o M´tododas Secantes.
ızes
ıcio
e
10. Determine os pontos extremos do exerc´ (6), usando o M´todo de Newtonıcio
e
Raphson.
11. Determine o ponto de intersec¸˜o entre as fun¸˜es f1 (x) e f2 (x), f2 (x) e f3 (x)
ca
co
e entre f1 (x), f2 (x) e f3 (x).

12. O Teorema do Valor M´dio, diz que para fun¸˜o diferenci´vel f (x), existe um
e
ca
a
n´mero 0 < α < 1, tal que :
u
f (x) = f (a) + (x −a)f (a + α(x − a))
Considere a = 0; α = 1/2 e f (x) = arctan(x). Determine o x > 0 que satisfaz
a igualdade acima.
e
a
e
13. Sabe-se que se x = ξ ´ uma raiz dupla de f (x) ent˜o o M´todo de NewtonRaphson n˜o converge quadraticamente. Mostre que se
a
f (ξ ) = 0, mas todas as outras condi¸oes de convergˆncia est˜o satisfeitas,

e
a
ent˜o a itera¸˜o:
a
ca
2f (xn )
xn+1 = ϕ(xn ) = xn−
f (xn )
converge quadraticamente.
14. Seja x = ξ uma raiz de f (x), tal que f (ξ ) = 0 e f ”(ξ ) = 0. Mostre que neste
caso o M´todo de Newton-Raphson tem convergˆncia c´bica.
e
e
u
15. Encontre todas as ra´
ızes reais do polinˆmio abaixo pelo m´todo de Newtono
e
Raphson.
p(x) = x4 − 2x3 + 4x − 1.6
16. Uma pessoa tomou um empr´stimo de A reais, que acrescenta os juros no total
eantes de computar o pagamento mensal. Assim, se a taxa mensal de juros, em
porcentagem, ´ q e o empr´stimo ´ pelo prazo de n meses, a quantia total que
e
e
e
o tomador concorda em pagar ´:
e
C = A + A.n.

q
.
100

Isto ´ dividido por n para dar o total de cada pagamento P , ou seja
e
P=

C
1
q
=A
+
n
n 100

´
Isto ´ perfeitamente legal e muito usado em lojas dedepartamento .( E chamado
e
o empr´stimo com acr´scimo). Mas a verdadeira taxa de juros que o tomador
e
e
est´ pagando ´ alguma coisa al´m de q %, porque ele n˜o conserva o total do
a
e
e
a
empr´stimo por todos os n meses: Ele est´ pagando-o de volta com o decorrer
e
a
do tempo. A verdadeira taxa de juros pode ser encontrada pela determina¸ao

de uma raiz x da equa¸˜o:
ca
F (x) = (Ax −...
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