Calculo numerico

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APOSTILA DE CÁLCULO NUMÉRICO

Professor: William Wagner Matos Lira Monitor: Ricardo Albuquerque Fernandes

1 ERROS
1.1 Introdução
1.1.1 Modelagem e Resolução
A utilização de simuladores numéricos para determinação da solução de um problema requer a execução da seguinte seqüência de etapas: Etapa 1: Definir o problema real a ser resolvido Etapa 2: Observar fenômenos, levantar efeitosdominantes e fazer referência a conhecimentos prévios físicos e matemáticos Etapa 3: Criar modelo matemático Etapa 4: Resolver o problema matemático Modelagem: Fase de obtenção de um modelo matemático que descreve um problema físico em questão. Resolução: Fase de obtenção da solução do modelo matemático através da obtenção da solução analítica ou numérica.

1.1.2 Cálculo Numérico
O cálculo numéricocompreende: A análise dos processos que resolvem problemas matemáticos por meio de operações aritméticas; O desenvolvimento de uma seqüência de operações aritméticas que levem às respostas numéricas desejadas (Desenvolvimento de algoritmos); O uso de computadores para obtenção das respostas numéricas, o que implica em escrever o método numérico como um programa de computador Espera-se, com isso,obter respostas confiáveis para problemas matemáticos. No entanto, não é raro acontecer que os resultados obtidos estejam distantes do que se esperaria obter.

1.1.3 Fontes de erros
Suponha que você está diante do seguinte problema: você está em cima de um edifício que não sabe a altura, mas precisa determiná-la. Tudo que tem em mãos é uma bola de metal e um cronômetro. O que fazer? Conhecemostambém a equação onde:

• • • • •

s é a posição final; s0 é a posição inicial; v0 é a velocidade inicial; t é o tempo percorrido; g é a aceleração gravitacional.

A bolinha foi solta do topo do edifício e marcou-se no cronômetro que ela levou 2 segundos para atingir o solo. Com isso podemos conclui a partir da equação acima que a altura do edifício é de 19,6 metros. Essa resposta éconfiável? Onde estão os erros? Erros de modelagem: − Resistência do ar, − Velocidade do vento, − Forma do objeto, etc. Estes erros estão associados, em geral, à simplificação do modelo matemático.

Erros de resolução: − Precisão dos dados de entrada (Ex. Precisão na leitura do cronômetro. p/ t = 2,3 segundos, h = 25,92 metros, gravidade); − Forma como os dados são armazenados; − Operações numéricasefetuadas; − Erro de truncamento (troca de uma série infinita por uma série finita).

1.2 Representação numérica
Motivação: Exemplo 1: Calcular a área de uma circunferência de raio 100 metros. a) 31140 m2 b) 31416 m2 c) 31415,92654 m2 Exemplo 2: Calcular S = ∑1
3000

xi para xi = 0.5 e para xi = 0.11

S para xi = 0.5 Calculadora Computador Por que das diferenças? 15000 15000

S para xi =0.11 3300 3299,99691

No caso do Exemplo 1 foram admitidos três valores diferentes para o número π : a) π =3,14 b) π =3,1416 c) π =3,141592654 Dependência da aproximação escolhida para π . Aumentando-se o número de dígitos aumentamos a precisão. Nunca conseguiremos um valor exato. No caso do Exemplo 2 as diferenças podem ter ocorrido em função da base utilizada, da forma como os números sãoarmazenados, ou em virtude dos erros cometidos nas operações aritméticas. O conjunto dos números representáveis em qualquer máquina é finito, e portanto, discreto, ou seja não é possível representar em uma máquina todos os números de um dado intervalo [a,b]. A representação de um número depende da BASE escolhida e do número máximo de dígitos usados na sua representação.

Qual a base utilizada nonosso dia-a-dia? Base decimal (Utiliza-se os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9). Existem outras bases: 8 (base octal), 12, 60, porém, a base utilizada pela maioria dos computadores é a base binária, onde se utiliza os algarismos 0 e 1. Os computadores recebem a informação numérica na base decimal, fazem a conversão para sua base (a base binária) e fazem nova conversão para exibir os...
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