calculo numerico

EEL7031 Lista de Exercicios 1 - Computacao Cientif ica II
Evelise Soares Pires
26 de mar¸o de 2011 c Turma:03202A
Pg.15 - Ex.7:
Find the second Taylor polynomial P2 (x) for the function f (x) = ex cos(x) about x0 = 0.
(a) Use P2 (0.5) to approximate f(0.5). Find an upper bound for error |f (0.5)−P 2(0.5)| using the error formula, and compare it to the actual error.
(b) Find a bound for the error |f (x) − P 2(x)| in using P2 (x) to approximate f (x) on the interval [0, 1].
1
1
(c) Approximate 0 f (x).dx using 0 p2 (x)dx.
1
(d) Find an upper bound for the error in (c) using 0 |R2 (x)dx|, and compare the bound to the actual error.
Segunda equacao polinomial de Taylor (P2 (x)), para f (x) = ex .cosx com x0 = 0:

P2 (x) = f (x0 ) +

f x0 2 f (x0 )
.x +
.x
1!
2!

f (x0 ) = ex0 .cos(x0 ) = e0 .cos(0) =1 f (x0 ) = −e .sen(x0 ) + ex0 .cos(x0 )=−e0 .sen(0) + e0 .cos(0)=1 f (x0 ) = −ex0 .cos(x0 ) − ex0 .sen(x0 ) + ex0 .cos(x0 ) − ex0 .sen(x0 ) =
−e0 .cos(0) − e0 .sen(0) + e0 .cos(0) − e0 .sen(0) = 0 x0 Portanto, fazendo as substituicoes temos:
P2 (x) = x + 1
a)Usando P2 (0, 5) para aproximar f (0.5), temos:
P2 (0, 5) = 1 + 0.5 = 1.5 ∴ f (0.5) ∼ 1.5
=
Nota-se que f (0.5) = 1.64, portanto pela aproximacao ocorreu um erro de 0.14. Pela formula do calculo de erro (Rn ) e considerando x0 = 0, n = 2, e ξ(x) = |x − x0 | = temos:
1

f n+1 (ξ(x)).(x − x0 ) f 3 (ξ(x)).x
=
(n + 1)!
3!
f 3 (ξ(x)) = −2.eξ(x) .(sen(ξ(x)) + cos(ξ(x)))
Rn =

Entao:
−2.eξ(x) .(sen(ξ(x)) + cos(ξ(x))).x3
Rn(x) =
6
Aplicando em x = 0, 5:
−2.eξ(0,5) .(sen(ξ(0, 5)) + cos(ξ(0, 5))).0, 125
Rn(0, 5) =
6
Analizando a equacao de Rn, podemos concluir que a soma maxima de
(sen(ξ(0, 5)) + cos(ξ(0, 5)) = 1, entao o erro maximo eh dado por:
Rn(0, 5) =

0.125
1 ∼
=
= 0.02083333...
6
48

b)Sabe-se que f (x) = Pn (x)+Rn (x), portanto para calcular Rn (x) pode-se manipular a equacao anterior, e depois derivando para descobrir seu valor maximo (derivando e