Calculo numerico

Disponível somente no TrabalhosFeitos
  • Páginas : 49 (12227 palavras )
  • Download(s) : 0
  • Publicado : 3 de setembro de 2012
Ler documento completo
Amostra do texto
ERISOCap´
ıtulo 14

Importˆncia da integra¸˜o
a
ca
num´rica
e
14.1

Introdu¸˜o
ca

No pr´ximo Cap´
o
ıtulo falaremos de m´todos num´ricos para o c´lculo de integrais defie
e
a
nidas, mas antes devemos atentar para a raz˜o de sua utilidade. O C´lculo ensina que,
a
a
para se obter
b

f (x)dx ,
a

basta achar uma primitiva, isto ´, uma fun¸˜o F (x) tal que F (x) = f (x), deforma que
e
ca
b
a

f (x)dx = F (b) − F (a)

(vide Apˆndice A).
e
Uma fun¸˜o f ´, em geral, dada por uma “f´rmula”, que nada mais ´ do que a comca
e
o
e
bina¸˜o finita, via somas, multiplica¸˜es, divis˜es e composi¸˜es de fun¸˜es elementares.
ca
co
o
co
co
As fun¸˜es elementares s˜o as usuais: potˆncias de x (negativas e positivas), fun¸˜es
co
a
e
co
trigonom´tricas e suasinversas, logaritmo e exponencial.
e
Entretanto, no mundo abstrato de todas as fun¸˜es poss´
co
ıveis, essas fun¸˜es formam
co
apenas uma min´scula parte. Em outras palavras, a grande maioria das fun¸˜es n˜o
u
co
a
tem uma f´rmula que as represente, embora nas aplica¸˜es do ‘mundo real’ os modelos
o
co
freq¨entemente conduzam a fun¸˜es descritas por meio de f´rmulas.
u
co
o
Mesmose nos restringirmos apenas `s fun¸˜es dadas por f´rmulas, acabaremos por
a
co
o
nos deparar com um fato matem´tico: nem todas elas admitem uma primitiva que
a
tamb´m seja escrita como combina¸˜o (finita) de fun¸˜es elementares!
e
ca
co
173

174

ˆ
´
CAP´
ITULO 14. IMPORTANCIA DA INTEGRACAO NUMERICA
¸˜

´
E claro que existe o recurso de se escrever a primitiva F como umacombina¸˜o
ca
infinita de fun¸˜es elementares, por exemplo atrav´s de uma s´rie de potˆncias
co
e
e
e
F ( x) =



c k xk .

k=0

Isto ´ poss´ (em muitos casos de forma at´ razoavelmente f´cil), mas com dois incone
ıvel
e
a
venientes: primeiro, quando formos avaliar F (a) e F (b) atrav´s da s´rie (ou da f´rmula
e
e
o
infinita) pode ser necess´ria uma quantidade t˜o grande determos (ou opera¸˜es) que
a
a
co
inviabilize ou torne muito lento o c´lculo. Al´m disso, nem sempre s´ries de potˆncia
a
e
e
e
convergem para todos os valores de x, o que exigiria uma an´lise criteriosa do alcance
a
dessa convergˆncia, em cada caso.
e
De outra parte, ´ preciso tamb´m dispor de instrumentos para estimar integrais
e
e
a partir de dados experimentais. As aplica¸˜es mais´bvias se encontram no c´lculo
co
o
a
de comprimentos, ´reas, volumes, massa, centro de massa, distˆncia percorrida, tempo
a
a
decorrido, etc. No que segue, discutiremos algum exemplos onde a integra¸˜o num´rica
ca
e
se faz necess´ria: ora por se tratar de medida experimental ora porque n˜o h´ primitiva
a
aa
elementar da fun¸˜o que se quer integrar.
ca

14.2

C´lculo de ´reas
a
aGostar´
ıamos de um m´todo sise
tem´tico para estimar a ´rea de figua
a
ras planas como a mostrada ao lado
(poderia ser uma ilha, por exemplo). Para isso, vamos nos basear no
Princ´ de Cavalieri, que diz: “daıpio
dos dois conjuntos A e B , se houver
uma linha L tal que toda perpendicular a L cruze A e B em intervalos de tamanhos iguais, ent˜o A e B
a
tˆm a mesma ´rea.”
e
a
Porexemplo, os triˆngulos da figura abaixo (` esquerda) tˆm ´reas iguais, pois cada
a
a
ea
reta R horizontal, ` altura y , cruza os triˆngulos em segmentos de tamanho igual a l(y ).
a
a
Para entender porque l(y ) ´ igual para os dois triˆngulos, observe que em ambos l(y )
e
a
varia como uma fun¸˜o afim (“linearmente”), em y = 0 tem-se l(0) = b (os triˆngulos
ca
a
tˆm bases de igual tamanho) eem y = h tem-se l(h) = 0 (os triˆngulos tˆm alturas
e
a
e
iguais). Portanto a fun¸˜o l(y ) tem o aspecto mostrado ` direita, na figura.
ca
a
Isso explica porque todos os triˆngulos com base e altura iguais tˆm a mesma ´rea,
a
e
a
que pode ser obtida de um deles, por exemplo o da direita. Essa ´rea vale 1 bh, e o
a
2

´
´
14.2. CALCULO DE AREAS

175

leitor pode observar que...
tracking img