Calculo numerico

Método das Cordas:

O método das cordas (partes proporcionais, secantes ou falsa posição) consiste em tomar como a aproximação seguinte, o ponto de interseção do eixo x com a reta r que passa pelos pontos conhecidos (a, f(a)) e (b, f(b)).

Graficamente: y f(x) f(a)

r1 r2

a = x0 x1 x2 b x

f(b)
Equação de r1 :
[pic] o ponto x1 (primeira aproximação) tem coordenadas: (x1, 0)

[pic] isolando x1 , temos: [pic]

Como a, neste caso, é a nossa aproximação inicial (a = x0 ), temos:

[pic] na forma recursiva fica: [pic]

Comentário: É necessário que f(x) seja uma função contínua e que sua segunda derivada não mude de sinal no intervalo [a, b] que contém uma única raiz.

O valor inicial (a ou b) pode ser escolhido de acordo com os quatro casos possíveis:

1) 2) f(a) f(b) b a a x b x f(b) f(a)

3) f(b) 4) f(a) a b b a f(a) f(b)

Nos casos 1) e 2), temos que a é o ponto inicial xo e b o ponto fixo
[pic] => a é o ponto inicial xo. ou ainda: [pic] => b é o ponto fixo e

Nos casos 3) e 4), temos que b é o ponto inicial xo e a o ponto fixo.
[pic] => b é o ponto inicial xo. ou ainda: [pic] => a é o ponto fixo e

Resumo: 1) Determina-se o intervalo [a , b] que contém a raiz. 2) Verifica-se a continuidade da função f(x) no intervalo [a , b]. 3) Determina-se a concavidade da função f(x) no intervalo. Sua concavidade não poderá mudar neste intervalo. 4) Determina-se qual dos extremos do intervalo será a aproximação inicial xo, ou o ponto fixo. 5) Usa-se a fórmula recursiva: [pic], onde o valor c é um dos extremos do intervalo e xn