Calculo integral

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3. Integrais indefinidas e métodos de integração

Um sociólogo que conhece a taxa na qual a população está crescendo pode querer usar esta informação para prever a população futura; um físico que conhece a velocidade de um corpo em movimento pode querer calcular a posição futura do corpo; um economista que conhece a taxa de inflação pode desejar estimar os preços futuros.
O processo de obteruma função a partir de sua derivada é denominado antiderivação ou integração.

Exemplos:
(1) Qual a função cuja derivada é f(x) = 2(
Lembrando as regras temos que derivando a função P(x) = 2x temos P’(x)=2=f(x).
Observe que derivando P(x) = 2x + 1, também obtemos P’(x) = 2.
O mesmo para P(x) = 2x-3, ou qualquer função do tipo P(x) = 2x+k, onde k é número fixo.
Assim, temos que P(x) = 2x+k, (k constante) é uma família de soluções para esta questão.

Esta família de funções que levam a derivada f(x) = 2 é chamada de primitiva ou antiderivada de f(x), ou seja, P(x) = 2x+k é a antiderivada de f(x) = 2.

(2) Qual a função cuja derivada é f(x) = 2x(
Lembrando as regras temos que derivando a função P(x) = x² obtemos P’(x)=2x= f(x).
Mas, derivando P(x) = x² + 10, também obtemosP’(x) = 2x.
O mesmo para P(x) = x²-13, ou qualquer função do tipo P(x) = x²+k, onde k é número fixo.
Assim, temos que P(x) = x²+ k, (k constante) é a antiderivada de f(x) = 2x

(3) Qual a função cuja derivada é f(x) = 3x²(
Lembrando as regras temos que derivando a função P(x) = x³ obtemos P’(x) =3x²= f(x).
O mesmo para qualquer função do tipo P(x) = x³+k, onde k é número fixo.
Assim, temos queP(x) = x³+ k, (k constante) é a antiderivada de f(x) = 3x².

(4) Qual a função cuja derivada é f(x) = x²(
(5) Qual a função cuja derivada é f(x) = x³(

3.1.Integrais imediatas

Seja f uma função definida em um intervalo I. Dizemos que uma função P, definida em I, é uma primitiva ou antiderivada de f quando P’(x) = f(x) para todo x em I. A antiderivada de f recebe o nome de integralindefinida de f. Denotamos a integral indefinida de f(x) por[pic], ou seja, [pic] = P(x) +k, onde P’(x) = f(x), para x[pic]I.
O símbolo[pic]é chamado de sinal de integral, e se assemelha a um “s” alongado. O s vem de soma. O símbolo dx que aparece após o integrando indica que a variável de integração é x.

Exemplos:
a) [pic]= [pic]+ k, pois ([pic]+ k)’ = 2x/2 +0 = x.
b) [pic]= 3x+k, pois(3x+k)’ = 3.
c) [pic] = x4 +k, pois (x4+k )’ = 4x3.
d) [pic]=[pic]+k, pois ([pic]+k)’ = xn (se n ( -1).

Propriedades:
1)[pic]
2) [pic], k :constante

Exemplos:
1)[pic] x2 + x+ k
2) [pic]
3) [pic]= [pic]+ x2 + 3x+ k
4) [pic]=[pic]=[pic]
5) [pic]=[pic]
6) [pic]
7)[pic]=[pic]
8) [pic]

Obtemos então as seguintes regras:

|Regras deintegração |
|1) [pic][pic]+k (n ( -1) |4) [pic]=[pic]+k |
|2) [pic]=[pic]=ln |x|+k |5)[pic]= -cos x+k |
|3) [pic]=ex+k|6) [pic]= sen x +k |

Você deve ter notado que não existisse uma regra específica para integração de produtos e quocientes. Apenas em alguns casos podemos reescrever a função de modo a eliminar o produto ou quociente.

Exemplos:
1) [pic]= [pic]= x3 + 2,5x2-[pic]+ k.

2) [pic]=[pic]=[pic]+k

Mas, a maioriados produtos e quocientes não pode ser eliminada. Nestes casos, teremos que usar um método para chegar no resultado da integração. Para trabalhar com os métodos de integração há a necessidade de fazer uso de bastante criatividade, percepção e muitos exercícios!

3.2 Integração por Substituição (mudança de variável)
É a “versão integral” da regra da cadeia, ou seja, é a regra para calcular...
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