Calculo integral

3. Integrais indefinidas e métodos de integração

Um sociólogo que conhece a taxa na qual a população está crescendo pode querer usar esta informação para prever a população futura; um físico que conhece a velocidade de um corpo em movimento pode querer calcular a posição futura do corpo; um economista que conhece a taxa de inflação pode desejar estimar os preços futuros. O processo de obter uma função a partir de sua derivada é denominado antiderivação ou integração.

Exemplos:
(1) Qual a função cuja derivada é f(x) = 2(
Lembrando as regras temos que derivando a função P(x) = 2x temos P’(x)=2=f(x).
Observe que derivando P(x) = 2x + 1, também obtemos P’(x) = 2.
O mesmo para P(x) = 2x-3, ou qualquer função do tipo P(x) = 2x+k, onde k é número fixo.
Assim, temos que P(x) = 2x+ k, (k constante) é uma família de soluções para esta questão.

Esta família de funções que levam a derivada f(x) = 2 é chamada de primitiva ou antiderivada de f(x), ou seja, P(x) = 2x+k é a antiderivada de f(x) = 2.

(2) Qual a função cuja derivada é f(x) = 2x(
Lembrando as regras temos que derivando a função P(x) = x² obtemos P’(x)=2x= f(x).
Mas, derivando P(x) = x² + 10, também obtemos P’(x) = 2x.
O mesmo para P(x) = x²-13, ou qualquer função do tipo P(x) = x²+k, onde k é número fixo.
Assim, temos que P(x) = x²+ k, (k constante) é a antiderivada de f(x) = 2x

(3) Qual a função cuja derivada é f(x) = 3x²(
Lembrando as regras temos que derivando a função P(x) = x³ obtemos P’(x) =3x²= f(x).
O mesmo para qualquer função do tipo P(x) = x³+k, onde k é número fixo.
Assim, temos que P(x) = x³+ k, (k constante) é a antiderivada de f(x) = 3x².

(4) Qual a função cuja derivada é f(x) = x²(
(5) Qual a função cuja derivada é f(x) = x³(

3.1.Integrais imediatas

Seja f uma função definida em um intervalo I. Dizemos que uma função P, definida em I, é uma primitiva ou antiderivada de f quando P’(x) = f(x) para todo x em I. A antiderivada de f recebe o nome de integral