Calculo ii

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Cálculo Integral
Profa. Telma Nagano de Moura

Integral Indefinida
• Resumo
– definição

• Regras
– Para uma constante K

– Para um múltiplo constante

Integral Indefinida
• Regras
– Para uma potencia

– Para uma função exponencial

– Para uma função f(x) = x-1

Integral Indefinida
• Regras
– Para uma soma ou diferença

Integral Indefinida
– Outras integrais EXERCÍCIOS – AULA ANTERIOR

Exercícios
1) Determine as seguintes integrais a) c) b) d)

2) Calcule as seguintes integrais a) b) c)

Exercícios
3) Estima-se que daqui a t meses a população de certa cidade esteja aumentando à taxa de habitantes por mês. Se a população atual é 10.000 habitantes, qual será a população daqui a 8 meses? 4) Um corpo está se movendo de tal forma que sua velocidadeapós t minutos é v(t) = 1 + 4t + 3t2 m/min. Que distância o corpo percorre no terceiro minuto?

Exercícios
5) Um estudo ambiental realizado em certa cidade revela que daqui a t anos o índice de monóxido de carbono no ar estará aumentando á razão de 0,1t + 0,1 partes por milhão por ano. Se o índice atual de monóxido de carbono no ar é de 3,4 partes por milhão, qual será o índice daqui a 3 anos? Exercícios
• 6) Um botânico descobre que certo tipo de árvore cresce de tal forma que sua altura h(t), após t anos, está variando a uma taxa de 0,06t2/3 + 0,3t1/2 metros/ano. Se a árvore tinha 60 cm de altura quando foi plantada, que altura terá após 27 anos?

Respostas
3)

Respostas
4)

Respostas
5)

Respostas
6)

RESOLUÇÃO DE INTEGRAIS MAIS COMPLICADAS

IntegralIndefinida
• Não existe regra para a integral do produto e do quociente de duas funções. • Integração por substituição
– Substituição de variáveis

• Integração por partes

Integral Indefinida
• Integração por substituição
– Ao contrario da diferenciação, a integração não tem uma Regra da Cadeia. – Este fato faz com que a integração de composições (funções dentro de funções) fique “maisengenhosa”. – Um “truque” para facilitar a integração de composições e utilizar a Substituição de variáveis.

Integral Indefinida
• Integração por substituição
– Com a substituição de variáveis, você iguala uma variável (normalmente chamada de u) a uma parte da função que você esta tentando integrar. – O resultado é uma função simplificada que você pode integrar usando as regras mais básicas. Integral Indefinida
• Como usar a Substituição de Variáveis (5 passos)
1) Pegue uma variável u e a iguale a uma expressão algébrica que aparece na integral, então substitua u por sua expressão na integral; 2) Diferencie u para encontrar du/dx, então isole todas as variáveis x de um lado do sinal de igual; 3) Faça outra substituição para transformar dx, e todas as outras ocorrências de x na integral, emuma expressão que inclua du;

Integral Indefinida
• Como usar a Substituição de Variáveis (5 passos)
4) Integre usando u como sua nova variável de integração; 5) Expresse essa resposta em termos de x.

Exemplo 1: ʃsen2x dx (função x constante) Ok, senx possui regra simples de integração... Mas não existe para uma constante (2) dentro da função seno... Observa-se que essa função sen2x é acomposição de duas funções...

Integral Indefinida
– Função 2x inserida em uma função seno – Se estivesse diferenciando, você poderia usar a regra da cadeia... – Infelizmente não existe uma regra da cadeia para a integração... – Mas... Podemos Substituir a Variável! – SEGUIR os 5 passos!

Integral Indefinida
1) Estabeleça uma nova variável u, e a substitua na integral:
u = 2x então:ʃsen2xdx = ʃsenudx Mas para integrar corretamente você precisa encontrar o “caminho”bpara mudar dx para uma expressão contendo du... São os passos 2 e 3

Integral Indefinida
2) Diferencie a função f(u) = 2x e isole os termos x em um dos lados do sinal de = f’(u) = 2 ou agora tratar o símbolo como se fosse uma fração e isolar os termos de x de um lado do sinal de =

Deixar dx isolado...
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