Calculo ii

Aula 06

Máximos e Mínimos

Ponto Crítico

f ( x, y)  0    x   ( xo , yo ) f ( x, y)  0  y  

Extremante Local
Condição suficiente p/ um ponto crítico ser extremante local. Seja f(x,y) de classe C2. A função...
2 f ( x, y) x 2 H ( x, y)  2 f ( x, y) xy 2 f ( x, y) yx 2 f ( x, y) y 2 denomina-se hessiano.

2  2 f ( x, y)   2 f ( x, y)   f ( x, y) H ( x, y)  xy x 2 y 2

     

     

2

Suponha que(xo,yo), ponto interior de Df, seja ponto crítico de f.
2 f ( xo , yo ) >0 e H(xo,yo)>0 ,então (xo,yo) a) Se x 2

será ponto de mínimo local de f.
2 f ( xo , yo )0 , então (xo,yo) b) Se x 2

será ponto de máximo local de f.

c) Se H(xo,yo) 0 H (x o , y o , z o ) > 0 1 (x o , y o , z o ) > 0
              

(x o , y o , z o ) será ponto mínimo local

 2z  b) Se  (x o , y o , z o )  0  2  x (x o , y o , z o )   H(x o , y o , z o ) > 0   será ponto máximo local H (x o , y o , z o )  0   1    

Exemplo 2
Determine os pontos críticos de

f ( x, y )  x 2  y 2  2 x  6 y  14.

Exemplo 3
Determine os valores extremos de

f ( x, y )  y 2  x 2 .

Exemplo 4
Determine os valores de máximo e mínimo locais e os pontos de sela de

f ( x, y )  x 4  y 4  4 xy  1.

Exemplo 4

D(1,1) = 128 > 0

Atividade

Ponto de sela

Mínimo local
Ponto de sela

Máximo local