calculo ii

INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS

AULA

01

26 MAIO 2008

Técnicas de Integração (Primitivação) uma breve revisão de “Funções de Uma Variável”

Prof. André

01 de37

Técnicas de Integração (Primitivação)
OBJETIVO: Apresentar técnicas para determinar a função F(x) – conhecida como primitiva – tal que F’(x) = f(x) ou:

 f(x) dx  F(x)
As principais técnicas de primitivação, conforme visto no curso
FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL (BC 0201) são:
– INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEL
– INTEGRAÇÃO POR PARTES
– INTEGRAÇÃO POR DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES
PARCIAIS
– INTEGRAÇÃO UTILIZANDO SUBSTITUIÇÕES (POR MEIO
DE IDENTIDADES) TRIGONOMÉTRICAS
Seguem algum exercícios onde estas técnicas são aplicadas.

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EXERCÍCIO 01
Calcular

(x2  1)50 2x dx


Solução

INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Seja u =

x2

+1

du
 2x dx Logo: 2x dx = du
Assim, a integral dada pode ser escrita como:

(u)50 du

u 51
(x 2  1) 51
 (u) du  51  C  51  C
50

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EXERCÍCIO 02
Calcular

 sen(x  9) dx

Solução

INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Seja u = x + 9

du
1
dx

Logo: dx = du

Assim, a integral dada pode ser escrita como:

 sen(u)du
 sen(u)du  cos(u) C  cos(x 9)  C
04 de37

EXERCÍCIO 03
Calcular

sen2 (x) cos(x)dx


Solução

INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Seja u = sen(x)

du
 cos(x) dx Logo: cos(x) dx = du
Assim, a integral dada pode ser escrita como:

u 2 du

u3 sen3 (x)
 u du  3  C  3  C
2

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EXERCÍCIO 04
Calcular

e



x

x

dx

Solução

INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO x Seja u =

1
1
du d  2  1  2 1 1
1


x   x 
Então
dx dx   2
2 1 2 x
  x2 Logo:

1
2 x

dx = du

Antes da substituição, a função dada será escrita de outra forma. 06 de37



x

e

x

dx  

e

x

2

1 2 x

dx   2e

1

x

2 x

dx

Assim, a integral dada pode ser escrita como:

1