Calculo diferencial

NOTAS DE AULA

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FUNC
¸ OES
DE VARIAS
VARIAVEIS
˜
DIFERENCIAC
¸ AO
Cl´audio Martins Mendes
Segundo Semestre de 2005

Sum´ ario 1 Fun¸ co ˜es de V´ arias Vari´ aveis - Diferencia¸c˜ ao 2

1.1

No¸c˜oes Topol´ogicas no Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2

Fun¸co˜es - Limites - Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2

1.2.1

Defini¸ca˜o

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.2

Gr´aficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3

Curvas e Superf´ıcies de N´ıvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4

Fun¸co˜es Limitadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.5

Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.6

Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.7

Derivadas Parciais e Fun¸c˜oes Diferenci´aveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.7.1

Derivadas Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.7.2

Derivadas parciais de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.7.3

Diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.7.4

Regras da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

1.7.5

Gradiente - Curva de N´ıvel - Superf´ıcie de N´ıvel . . . . . . . . . . . . . 57

1.7.6

Derivada Direcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

1.8

Teoremas: Valor M´edio e Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

1.9

M´aximos e M´ınimos

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

1.10 M´aximos e M´ınimos Condicionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

1

Cap´ıtulo 1
Fun¸co
˜es de V´
arias