Calculo diferencial e integral 4

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CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 4
Uma equação diferencial é uma equação que envolve derivadas e/ou diferenciais, uma vez que é possível transformar uma derivada em uma equação diferencial. O Cálculo Integral [1a - 4a], cujo primeiro objetivo é obter uma função na forma macroscópica, a partir da sua representação diferencial fecha, num certo sentido, a análise deste assunto:
A integral é umoperador aplicado sobre uma diferencial, com o objetivo de recuperar a função que foi diferenciada ou derivada; a operação matemática que esse operador executa chama-se integração. O objetivo de uma integração é obter um número ou uma relação explícita entre variáveis.
As integrais podem ser classificadas em três tipos:
a) integrais indefinidas;
b) integrais definidas;
c) integrais impróprias.
Aspropriedades e características desses tipos de integração surgem dos processos de obtenção das regras de integração.
Integral Indefinida
Com o objetivo de mostrar as regras para integração, vamos começar dos seus resultados mais simples, envolvendo funções polinomiais. Assim, já sabemos que a derivada de uma constante é igual a zero, isto é, dada a função
y  =  a     ----------        =  0Como é possível a partir desta última relação obter a função original? Utilizando propriedade dos diferenciais, podemos escrever:
dy  =  0.dx  =  0
Integrando, vem:

O primeiro membro desta equação deve reproduzir a variável dependente y; isto pode ser obtido através da operação:
  =  y
a partir da qual se obtém a primeira regra de integração: o operador integral anula a ação do operadordiferencial, isto é, eles são opostos. Deve-se observar no entanto que existe uma ordem para que os dois operadores se anulem: o operador integral deve atuar, pela esquerda, sobre o operador diferencial. Esta é uma diferença marcante em relação aos operadores algébricos (soma e subtração, multiplicação e divisão) que não dependem da ordem dada. Costuma-se dizer que essa operação transforma-se nooperador unitário:
  =  1
Com relação ao segundo membro da equação, como a função original não contém a variável x, pode-se escrever:

que resulta na segunda regra de integração: a integral do produto de uma constante pela variável de integração é igual ao produto da constante pela integral da variável de integração; em outras palavras, a constante pode ser retirada para fora da integral. Éinteressante observar que matematicamente essa regra contém a primeira; contudo, o objetivo da primeira regra é mostrar a forma de anular a ação dos dois operadores. Retornando à integração anterior, somente essas duas regras não reproduzem a função original (falta a constante a). Considerando que o processo de derivação (ou de diferenciação) provoca a perda de informação da função, estabelecemos umaterceira regra, que consiste em introduzir uma constante na operação de integração, a fim de reproduzir a função original, isto é:
  +  C1                                                      (1)
onde C1 é denominada de constante de integração. Rigorosamente, a constante de integração deve ser introduzida em cada termo que está sendo integrado. Assim, para a equação anterior, teríamos:
   +  C1' =    +  C2'
Mas, como essa expressão pode ser adaptada para:
   =     +  C2' - C1'
que pode ser escrita como
  =     +  C1
uma vez que a diferença entre duas constantes é uma constante, é comum expressar que é suficiente introduzir uma constante de integração em um dos membros da equação que está sendo integrada. Este tipo de integral é denominado integral indefinida. Com essas regras, a funçãooriginal é obtida:
y  =  C1
A obtenção do valor correto da constante C1 é um dos problemas clássicos do Cálculo, sendo denominado "problema do valor de contorno". É através do seu valor ou da expressão que essa constante representa, que se identifica a equação obtida através do cálculo com o fenômeno estudado. Com procedimento análogo, as outras regras de integração podem ser obtidas....
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