Calculo Diferencial resolução_1

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1.1

Exerc´ ıcios resolvidos Aula 1
N´ meros Reais e equa¸oes de 2 grau u c˜

1 - N´mero par ´ todo n´mero que pode ser expresso sob a forma 2n, com n ∈ Z. u e u N´mero impar ´ todo n´mero que pode ser expresso sob a forma 2k + 1, com u e u k ∈ Z. De acordo com essas defini¸˜es, provar que a soma de um n´mero par co u qualquer com um n´mero ´ u ımpar qualquer ´ um n´mero ´ e u ımpar. Resolu¸˜o: ca Um n´mero par qualquer ´ da forma 2n, com n ∈ Z e um n´mero ´ u e u ımpar ´ e da forma 2k + 1, com k ∈ Z. Assim temos:
2n + 2k + 1 = 2(n + k) + 1
Como n + k ´ um n´mero inteiro, conclu´ e u ımos que 2(n + k) + 1 ´ ´ e ımpar. Logo, a soma de um n´mero par com um n´mero ´ u u ımpar ´ sempre ´ e ımpar.
2 - Transforme em fra¸˜o irredut´ os n´meros racionais: a) 2,5; b)3,81; c)0,03 ca ıvel u Resolu¸˜o: ca a) 2, 5 =

25
10

=

b) 3, 81 =

381
100

c) 0, 03 =

5
2

3
100

3- Julgue (V ou F) cada uma das afirma¸˜es: co a) Todo n´mero racional ´ real. (V) u e
b) Todo n´mero irracional ´ real. (V) u e
c) Existe nmero real que n˜o ´ racional. (V) a e
d) Existe n´mero real que n˜o ´ irracional. (V) u a e
e)Existe n´mero que ´, ao mesmo tempo, racional e irraciona. (F) u e
f) Existe n´mero real que n˜o ´ racional nem irracional. (F) u a e
4 - Obtenha m de modo que a equa¸˜o do 2 grau 3x2 − 2x + m = 0 n˜o ca a admita ra´ ızes reais.
Resolu¸˜o:
ca
A equa¸˜o n˜o admite ra´ ca a ızes resis se, e somente se, ∆ < 0, isto ´: e (−2)2 − 4 · 3 · m < 0
4 − 12 · m < 0
−12 · m < −4 m> 1
3
Assim, a equa¸˜o n˜o admite ra´ ca a ızes reais se, e momente se, m >

1

1
3

.

5 - Determine k, sabendo que a soma das ra´ ızes da equa¸˜o do 2 grau 5x2 + ca kx − 2 = 0 ´ 3 . e 5
Resolu¸˜o:
ca b A soma S das ra´ ızes ´ dada por S = − a . Portanto temos: e seja: k = −3

3
5

= − k , ou
5

6 - Resolver, no universo dos n´meros reais, a equa¸˜o do 2 grau: 5x2 −3x−2 = 0. u ca