Calculo com geometria analitica

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Cálculo com Geometria Analítica. Conteúdo 3; Módulo 2: Derivadas Exercício 1 Qual é a equação da reta tangente ao gráfico de f (x) = x2 + 2x no ponto de abscissa 1? Solução: Alternativa A A equação da reta tangente é dada por, y − f (x0 ) = f (x0 )(x − x0 ), onde x0 = 1 é o ponto de abscissa. Portanto, como f (1) = 12 + 2.1 = 1 + 2 = 3 f (x) = 2x + 2 f (1) = 2.1 + 2 = 2.2 = 4 Temos, que y − f (x0) = f (x0 )(x − x0 ) ⇒ y − 3 = 4.(x − 1) ⇒ y − 3 = 4x − 4 ⇒ y=4x-1

Exercício 3 Uma bola é jogada para cima, a partir do solo, e sua altura em um instante t é dada por s(t) = −5t2 + 15t, onde s é dado em metros e t em segundos. Qual a velocidade no instante t=1s? Solução: Alternativa C Para determinar a velocidade da partícula no instante t = 1s, devemos derivar a função s(t) e calcular s’(1).Assim s(t) = −5t2 + 15t s (t) = −10t + 15 s (1) = −10.1 + 15 = 5 Portanto a velocidade da partícula no instante t = 1s é 5m/s .

Exercício 5 O deslocamento, em centímetros, de uma partícula sobre uma trajetória é dado pela equação s(t) = 15 + 0, 2 sin(15πt), onde t é dado em segundos. Qual é a velocidade da partícula após t segundos? Solução: Alternativa A Para determinar a velocidade dapartícula num instante t, basta derivar a função s(t), assim s(t) = 15 + 0, 2 sin(15πt) s (t) = 0, 2.(cos(15πt)).15π = 3π(cos(15πt)) Portanto a velocidade da partícula no instante t é de 3π(cos(15πt))

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Exercício 7 Uma pedra é atirada para cima, sua altura (em metros) após t segundos é dada por s(t) = 12t − 1, 5t2 . Considere as afirmações a seguir e assinale a alternativa correta: I. A altura dapedra no instante t=2 segundos é igual a 18 metros. II. A velocidade da pedra no instante t=2 segundos é igual 6m/s. III. A pedra retorna ao solo no instante t=8 segundos. Solução: Alternativa A A altura da pedra no instante t=2 é igual a s(2) = 12.2 − 1, 5.(2)2 = 18 metros. A velocidade da partícula no instante t=2 é igual a s (t) = 12 − 2.(1, 5)t = 12.3t s (2) = 12 − 3.2 = 12 − 6 = 6 m/s. A pedraretorna ao solo quando sua velocidade é nula pela segunda vez, uma vez que a velocidade da pedra é nula quando a mesma atinge seu ponto máximo e depois quando toca o solo. Assim a pedra retorna ao solo no instante t igual a s (t) = 0 ⇒ 12 − 3t = 0 ⇒ t = 4 Como a pedra leva 4 segundos para subir e mais quatro segundo para descer, tem-se que o tempo gasto é de 8 segundos até o solo. Conteúdo 4;Módulo 3: Derivadas Exercício 1 Calcule a derivada da função f (x) = Solução: Alternativa C Note que x deve ser diferente de zero. Assim f (x) = f’(x)=2x-2 x4 − 2x3 = x2 − 2x e portanto, x2

x4 − 2x3 ? x2

Exercício 2 Qual a derivada da função f (x) = x2 cos x? Solução: Alternativa C Pela regra do produto, temos f (x) = 2x. cos(x) + x2 .(− sin(x)) = 2x. cos(x) − x2 . sin(x)

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Exercício 3 Quala derivada da função f (x) = x. ln(x)? Solução: Alternativa E Pela regra do produto, temos 1 f (x) = 1. ln(x) + x. = ln(x) + 1 x Exercício 4 Qual a derivada da função f (x) = Solução: Alternativa A Pela regra do quociente, temos − sin(x).(x2 + 1) − cos(x).2x −2x. cos(x) − (x2 + 1). sin(x) f (x) = = (x2 + 1)2 (x2 + 1)2 cos(x) ? x2 + 1

Exercício 5 Qual a derivada da função y = t3 et ? Solução:Alternativa E Pela regra do produto, temos f (x) = y = 3t2 .et + t3 .et = t2 et (3 + t)

Exercício 6 Qual a derivada da função y = ln(x2 + 3)? Solução: Alternativa E Pela regra da cadeia, temos 1 2x f (x) = y = 2 .2x = 2 x +3 x +3 Exercício 7 Qual a derivada da função y = x2 e3x ? Solução: Alternativa C Pela regra do produto e pela regra da cadeia, temos f (x) = y = 2x.e3x + x2 .3.e3x = xe3x (2 +3x)

Exercício 9 Considere as afirmações a seguir e responda a alternativa correta:

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I - Se f tem concavidade para cima em um intervalo I e f (x0 ) = 0 para algum x0 de I então x0 é ponto de mínimo de f em I. II -

A reta t (tangente ao gráfico no ponto x0 ) é paralela ao eixo das abcissas. A inclinação da reta t é igual a zero. Logo f (x0 ) = 0. Solução: Alternativa D No item (I)...
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