calculo atd1

ATD1

Investigando a relação entre divisor (ou denominador de uma fração) e as dízimas periódicas.
1) Explique porque ao dividirmos qualquer número inteiro x por 4 nunca obtemos uma dízima periódica.

Dado um inteiro , temos quatro possibilidades quando o dividimos por quatro.

O resto pode ser zero, um, dois ou três.

Em outras palavras, qualquer inteiro pode ser escrito em uma das formas, 4k,4k+1,4k+2 ou 4k+3.

É claro que, 4k ao ser dividido por quatro não resulta =numa dízima periódica, porque o resto da divisão é zero.

Já 4k+1 dividido por quatro resulta em 4k+1/4= 4k/4+1/4=k+0,25.

Que também não é uma dízima.

Agora 4k+2 ao ser dividido por quatro resulta em 4k+2/4= k+2/4=k+0,5.

Que também não é uma dízima.

Por fim, quando dividimos um número da forma 4k+3 por quatro, obtemos 4k+3/4=k+0,75.

Que também não é uma dízima.

Pronto, provamos que, qualquer que seja o número inteiro x, quando o dividimos por 4 não obtemos uma dízima periódica.

2 ) Quando dividimos um número inteiro y por 3 pode ser que o resultado seja uma dízima periódica. Em que casos o resultado é uma dízima periódica e em que casos não são? Justifique ambos.

Dado um inteiro x temos três possibilidades quanto ao resto da divisão de x por 3.

Se o resto for 0,x , é da forma 3k.

E é claro que x dividido por 3 não resulta numa dízima.

Se o resto for 1, temos x=3k+1.

Veja que,3k+1/3=3k/3+1/3=k+1/3.

Note que,1/3 é uma dízima periódica.

Assim, se x deixa resto 1 quando dividido por 3, obtemos uma dízima periódica quando dividimos x por 3.

Se x deixa resto 2, teremos x=3k+2 e 3k+2/3=3k/3+2/3=k+2/3.

Como 2/3 é uma dízima, se x deixa resto dois quando dividido por três, o resultado da divisão de x por 3 é uma dízima periódica.

Contudo, o resultado é uma dízima periódica quando x deixa resto 1 ou 2 quando dividido por 3.