Calculo 3

Segunda Prova de Cálculo III - 18/05/2013
ENTREGUE SOMENTE ESSA FOLHA COM AS RESPOSTAS ASSINALADAS
Nome:

Turma:

1. A área da superfície do cilindro x = 4 z = x é dada por

(a) 2

(b)

Z

2

(4

y 2 que está acima do plano xy e abaixo do plano

p t ) 1 + 4t2 dt
2

(c)

Z

2
2

1 + 4t dt

(d)

0

2

Z

2

p t 1 + 4t2 dt

2

Resposta: (b) : Resolução: Seja C a curva no plano xy que é a parte da parábola x = 4 y 2 com 2 y 2: Para cada (x; y) a altura da parte cilíndrica varia de z = 0 até z = x: Portanto, p parametrizando C por: x = 1 t2 e y = t; com 2 t 2; temos ds = ( 2t)2 + 12 dt = p 1 + 4t2 dt e a área pedida é
Z
Z 2 p A= xds =
(4 t2 ) 1 + 4t2 dt:
C

2. A integral

Z

2

(cos(x3 )

3

y 3 )dx + (yey + x3 )dy

C

2

em que C é a cincunferência x + y 2 = 4 orientada na sentido horário é dada por
Z 2
Z 2 Z 2
Z 2 Z 2
3
2
(a)
6 x dx
(b) 0
(c)
r drd
(d)
r2 drd
0

0

0

0

0

Resposta: (a) : Resolução: Utilizando o Teorema de Green na região D interior à circunferência
C; obtemos (o sinal de menos se deve à orientação negativa de C)
Z
Z Z
@
@
3
3
3
y3
3
(yey + x3 )
(cos(x3 ) y 3 ) dA
(cos(x ) y )dx + (ye + x )dy =
@x
@y
C
Z ZD
=
3x2 + 3y 2 dA
Z 2D Z 2
= 3 r2 rdrd
Z 2
Z0 2 0 Z 2
3
r3 dr: d r dr = 6
= 3
0

Obs.: Obviamente,

6

R2
0

r3 dr =

6

R2
0

0

0

x3 dx:

3. Seja C a semi-cincunferência x2 + y 2 = 1, com y 0, percorrida no sentido anti-horário. A integral Z y x dx dy
2 + 4y 2
2 + 4y 2 x C x

é dada por
(c)
(d)
2
2
Resposta: (b) : Resolução: Seja a parte superior da elípse x2 + 4y 2 = 1 (com y 0) orientada no sentido horário. Seja D a região limitada pela curva fechada C [ : Pelo Teorema de Green
D
E y x
(note que em D o campo é bem de…nido) temos
;
x2 +4y 2 x2 +4y 2
Z Z
Z
Z
@
x y @ y x y x
( 2
( 2
)
) dA = dx 2 dy+ dx 2 dy: 2
2
2 + 4y 2
2
2 + 4y 2 x + 4y
@y