Calculo 3

Capítulo 1

SEQUÊNCIAS E SÉRIES
Neste capítulo apresentaremos apenas o essencial sobre sequências e séries, o mínimo, para estudar as soluções analíticas de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO), as convergências das séries de Fourier e a validade das soluções das Equações Diferenciais Parciais (EDP) que estudaremos. Às pessoas interessadas nas demostrações ou que desejem aprofundar-se nos assuntos deste capítulo, indicamos [LE] na bibliografia.

1.1 Sequências Numéricas
Denotemos por N o conjunto dos números naturais e por R o conjunto dos números reais. Definição 1.1. Uma sequência de números reais é uma função: f : N −→ R. As notações clássicas para sequências são: f (n) = an , o termo geral da sequência. A sequência é denotada por: an n∈N = a1 , a2 , . . . . . . , an , . . . .

Não confundir a sequência an n∈N com {a1 , a2 , . . . . . . , an , . . . } que é o conjunto-imagem da função que define a sequência . Exemplo 1.1. [1] [2] 1 n √ n = 1, n∈N n∈N

1 1 1 1 , , . . . , , . . . ; o conjunto-imagem é /n∈N . 2 3 n n √ √ √ = 1, 2, . . . , n, . . . ; o conjunto-imagem é { n / n ∈ N}. = − 1, 1, −1, . . . , (−1)n , . . . ; o conjunto-imagem é {−1, 1}. 9

[3] (−1)n

n∈N

10

CAPÍTULO 1. SEQUÊNCIAS E SÉRIES
3

1
2

1

1

2

3

4

5

6

7

1

2

3

4

5

6

7

Figura 1.1: Gráficos das sequências

√ 1 e n n

Definição 1.2. Uma sequência an n∈N converge ao número real L quando para todo ε > 0 existe n0 ∈ N tal que |an − L| < ε para todo n > n0 . Se a sequência an n∈N converge a L, denotamos: n→+∞ lim an = L;

o número L é dito o limite da sequência. Uma sequência é dita divergente se não converge. Logo, a sequência an n∈N diverge quando, para nehum número real L, se tem lim an = L, ou seja, se existe ε > 0 tal que para cada n0 ∈ N existe n > n0 tal que |an − L| ≥ ε. Exemplo 1.2. [1] A sequência (n)n∈N = (1, 2, 3, . . . , n, . . .), claramente, diverge. Pois: n→+∞ n→+∞

lim n

não existe. [2] A