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Capítulo 1

SEQUÊNCIAS E SÉRIES
Neste capítulo apresentaremos apenas o essencial sobre sequências e séries, o mínimo, para estudar as soluções analíticas de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO), as convergências das séries de Fourier e a validade das soluções das Equações Diferenciais Parciais (EDP) que estudaremos. Às pessoas interessadas nas demostrações ou que desejem aprofundar-se nosassuntos deste capítulo, indicamos [LE] na bibliografia.

1.1 Sequências Numéricas
Denotemos por N o conjunto dos números naturais e por R o conjunto dos números reais. Definição 1.1. Uma sequência de números reais é uma função: f : N −→ R. As notações clássicas para sequências são: f (n) = an , o termo geral da sequência. A sequência é denotada por: an
n∈N

= a1 , a2 , . . . . . . , an , . . ..

Não confundir a sequência an n∈N com {a1 , a2 , . . . . . . , an , . . . } que é o conjunto-imagem da função que define a sequência . Exemplo 1.1. [1] [2] 1 n √ n = 1,
n∈N n∈N

1 1 1 1 , , . . . , , . . . ; o conjunto-imagem é /n∈N . 2 3 n n √ √ √ = 1, 2, . . . , n, . . . ; o conjunto-imagem é { n / n ∈ N}. = − 1, 1, −1, . . . , (−1)n , . . . ; o conjunto-imagem é {−1, 1}. 9

[3] (−1)nn∈N

10

CAPÍTULO 1. SEQUÊNCIAS E SÉRIES
3

1
2

1

1

2

3

4

5

6

7

1

2

3

4

5

6

7

Figura 1.1: Gráficos das sequências

√ 1 e n n

Definição 1.2. Uma sequência an n∈N converge ao número real L quando para todo ε > 0 existe n0 ∈ N tal que |an − L| < ε para todo n > n0 . Se a sequência an
n∈N

converge a L, denotamos:
n→+∞

lim an = L;o número L é dito o limite da sequência. Uma sequência é dita divergente se não converge. Logo, a sequência an n∈N diverge quando, para nehum número real L, se tem lim an = L, ou seja, se existe ε > 0 tal que para cada n0 ∈ N existe n > n0 tal que |an − L| ≥ ε. Exemplo 1.2. [1] A sequência (n)n∈N = (1, 2, 3, . . . , n, . . .), claramente, diverge. Pois:
n→+∞ n→+∞

lim n

não existe. [2] Asequência 1 n converge a zero.
n∈N

De fato, dado ε > 0 devemos determinar um número n0 ∈ N tal que para todo n > n0 : 1 1 1 − 0 < ε =⇒ < ε desde que n > . n n ε 1 Como ε−1 pode não ser um número natural, escolhemos n0 > . Logo, para todo n > n0 , ε 1 temos: < ε. Logo: n 1 lim = 0. n→+∞ n [3] A sequência constante (k)n∈N , k ∈ R converge para k. Logo:
n→+∞

lim k = k.

1.1. SEQUÊNCIASNUMÉRICAS
Proposição 1.1.

11

1. Se uma sequência converge para L e para M , então, L = M . Isto é, se o limite de uma sequência existe, êle é único. 2. Se (an )n∈N converge, então, (|an |)n∈N converge. A recíproca é falsa. Veja o exemplo seguinte. Exemplo 1.3. A sequência ((−1)n )n∈N diverge, pois, seus termos oscilam entre +1 e −1; logo, a sequência não tem limite. Por outro lado, a sequência(|(−1)n |)n∈N é convergente. Definição 1.3. Uma sequência an n∈N é limitada se existe k ∈ R+ tal que |an | ≤ k para todo n ∈ N. Caso contrário, é dita ilimitada. Proposição 1.2. Se a sequência an Exemplo 1.4. [1] A sequência n [2] A sequência n2 [3] A sequência rior não vale.
n∈N n∈N

é convergente, então, é limitada.

diverge, pois é ilimitada. diverge, pois é ilimitada. é limitada e diverge.Logo, a recíproca da propriedade ante-

n∈N ((−1)n )n∈N

Proposição 1.3. Se an ≤ bn ≤ cn para todo n > n0 e:
n→+∞

lim an = lim cn = L,
n→+∞

então,

n→+∞

lim bn = L.

Exemplo 1.5. Estudemos a convergência da sequência : cos(n) n .
n∈N

0.4

0.2

2

4

6

8

10

12

14

0.2

Figura 1.2: Gráfico dos 15 primeiros termos da sequência.

12 Como: − pela propiedadeanterior:
n→+∞

CAPÍTULO 1. SEQUÊNCIAS E SÉRIES

1 cos(n) 1 ≤ ≤ , n n n lim cos(n) = 0. n e bn convergem a L e M , respectivamente,

Proposição 1.4. Se as sequências an então: 1. Se α e β ∈ R: lim 2. 3.
n→+∞ n→+∞

n∈N

n∈N

α an + β bn = α L + β M .

lim

an · bn = L · M . L an , se M = 0. = bn M

n→+∞

lim

Exemplo 1.6. Considere as sequências 1 n2 e 2+
n∈N

1 n...
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