Cálculo Diferencial e Integral 3 – Funções de várias variáveis
1. Represente graficamente o domínio das seguintes funções:
a) z = f(x , y) = b) z = f(x , y) = ln (x + y)
c) z=f(x, y) = d) z = f(x, y) =
e) z = f) z =
2. Verifique se a função é homogênea e caso afirmativo, dê o grau de homogeneidade:
a) f(x,y) = x.yb) f(x, y) = x2 + y 2 –1 c) f(x, y) = 2. x0,6 y0,4 d) f(x,y) = x2+ y2 e) f(x, y) = f) fx,y,z=x2+3y2+z2
3. Suponha queT(x,y) = 4x2+9y represente uma distribuição de temperatura no plano xy.
a) Desenhe a isotérmica correspondente à temperatura 36.
b) Determine o ponto de mais baixa temperatura da reta x+y=14. Desenhe as curvas de nível da função f(x,y) = 4 - x2 - y2 e esboce o gráfico
5. Considere a função.
a) Desenhe a superfície de nível c = 4.
b) Verifique se a função é homogêneac) Calcule f1, 2,-1.
6. Desenhe as curvas de nível da função f(x,y) = x + y –1
7. Represente graficamente o domínio da função:
a) fx,y,z=1-z b)fx,y,z=1x2+y2+z2-4 c) fx,y,z=ln(x2+y2+z2)8. Mostre que os limites não existem:
a) b)
9. Calcule os seguintes limites:
a) b)
c) d)
e) f)10. Dada a função, verifique se ela é contínua,
a) fx,y=x2+y2, se x,y≠0,0 2 , se x,y=0,0 em (0,0)
b) fx,y=1, se x≥22, se x<2 em (2, 7)
11.Calcule as derivadas parciais de:
a) f (x, y) = x2 + y2 b) f(x, y) = x. y
c) f(x,y) = 5x4y – 6y + 4x. d) f (x, y) = 2x.
e) f(x, y) =3x+y3. f) f(x, y) = 6xy –2x2y3
12. Calcule as derivadas de segunda ordem da função:
a) f(x, y) = 3x2+xy+2 b) f(x, y) = ln(x2+y2) c)
13. Determine os extremantes...
...CalculoIntegral II
Professora Roberta Porto
2013
INTEGRAISDUPLASINTEGRAISDUPLASINTEGRAISDUPLASINTEGRAISDUPLASINTEGRAISDUPLASINTEGRAISDUPLASINTEGRAISDUPLAS
Se f for contínua no retângulo R = { (x,y) | a < x < b, c < y < d },...
...dimensões. Consiste num conjunto de fórmulas e técnicas para a resolução de problemas, muito útil na engenharia e na física.
Este trabalho visa aplicar os conceitos desenvolvidos nas aulas sobre o a integração em campos vetoriais, em particular as integrais de linhas, que são utilizadas para calcular o trabalho realizado por um campo de força ao mover objetos ao longo de um caminho através do campo, que são utilizados pelo aluno dos cursos de Engenharia no decorrer dos...
...Cálculo é uma forma importante da matemática, desenvolvida a partir da álgebra e da geometria, que se dedica ao estudo de taxas de variações de grandezas (como a inclinação de uma reta) e a acumulação de quantidades (como a área debaixo de uma curva ou volume de um sólido). Onde o movimento ou crescimento e onde forças variáveis agem produzindo aceleração.
O cálculo foi criado como uma ferramenta auxiliar em varias áreas das ciências exatas . Desenvolvido por...
...2.2 Integrais Duplos
Anteriormente estudaram-se os integrais da forma quer para funções definidas e limitadas em intervalos limitados quer para funções não limitadas em intervalos ilimitados. Em seguida generalizou-se o conceito de integral introduzindo os integrais de linha. Agora estudaremos integrais em que, em vez de intervalos unidimensionais teremos um conjunto bidimensional R, chamado região de integração, e a...
...Mudanças de Coordenadas
em IntegraisDuplas e
Coordenadas Polares
Felipe Pereira Heitmann
www.felipeheitmann.com
Mudanças de Coordenadas
• Uma mesma região pode ser
representada em coordenadas diferentes.
X e Y como funções e u e v
• Para fazer a mudança entre coordenadas
é necessário escrever os termos X e Y em
função das novas variáveis u e v.
Reescrevendo a integral
Transformando Regiões em retângulos
• Mudanças de...
...´
CALCULO III - MAT 211- IMEUSP- 1ö Semestre de 2012
Professor Oswaldo Rio Branco de Oliveira
INTEGRALDUPLA: TEOREMA DE FUBINI E
´
TEOREMA DE MUDANCA DE VARIAVEIS
¸
Defini¸˜es.
co
Parti¸˜o. Sejam a, b, c, e d quatro n´ meros reais. Consideremos no
ca
u
plano cartesiano Oxy o retˆngulo
a
R = [a, b] × [c, d] = {(x, y) ∈ R2 ∶ a ≤ x ≤ b e c ≤ y ≤ d}.
Consideremos tamb´m as parti¸˜es arbitr´rias
e
co
a
⎧
⎪ P1 = {a = x0 < x1 < ... < xn...
...INTEGRAISDUPLAS
Danilo Sande Santos
SUMÁRIO
¢ Definição
e interpretação geométrica;
¢ Propriedades das Integraisduplas;
¢ Cálculo das integraisduplas;
¢ Mudança de variáveis nas integraisduplas;
¢ Integraisduplas em coordenadas polares;
¢ Aplicações de IntegraisDuplas;
¢ Referências....
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Apostila de Cálculo 2 Integrais
1
Professor V. Filho
IEBP - INSTITUTO EDUCACIONAL O BOM PASTOR
www.iebp.pro.br
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1
Introdução à Integração
CAPÍTULO
Neste capitulo introduziremos a integral. Em primeiro lugar,
trataremos da integração. Em seguida, veremos a integral definida
– que é a...