Calculo 2

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APOSTILA DE CÁLCULO
DIFERENCIAL E INTEGRAL II
y

y Cálculo do elemento de volume

y=f(x)

y=f(x)
r=f(x)

Área plana
a

bx

a

z

b

dx

dV=π r²dx
dV=π[f(x)]²dx

Colaboradores para elaboração da apostila:
Elisandra Bär de Figueiredo, Enori Carelli, Ivanete Zuchi Siple, Marnei Luis Mandler

Versão atual editada por Elisandra Bär de Figueiredo
Para comentários esugestões escreva para dma2ebf@joinville.udesc.br

Home-page: http://www.joinville.udesc.br/portal/professores/elisandra/

Joinville, julho de 2011

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Segunda

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iQuarta

Quinta

Sexta

Conteúdo
1 INTEGRAL DEFINIDA

1

1.1

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2

Partição

......................................

3

1.3

Soma Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.4

Soma Inferior

...................................

51.5

Função Integrável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.5.10 Teorema do Valor Médio para Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.6

Teorema Fundamental do Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.6.6

20

Fórmulas Clássicas para Resolver Integrais (Revisão)

1.7

Integrais Impróprias

1.8

Integral deuma Função Descontínua num Ponto c

1.9

Aplicações da Integral Denida
1.9.1

.........

...............................

∈ [a, b]

...........

22
23

.........................

25

Área em coordenadas retangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

1.9.10 Área delimitada por curvas escritas em equações paramétricas

....

1.9.13 Área de um setorcurvilíneo em coordenadas polares . . . . . . . . . .
1.10 Comprimento de Arco

32
34

..............................

38

1.10.1 Comprimento de Arco em Coordenadas Cartesianas . . . . . . . . . .

38

1.10.3 Comprimento de um arco em coordenadas paramétricas . . . . . . . .

41

1.10.7 Comprimento de arco em coordenadas polares . . . . . . . . . . . . .

43

1.11 Volume de um Sólidode Revolução

.......................

44

1.11.5 Rotação em torno de uma Reta Paralela a um Eixo Coordenado . . .

48

1.12 Exercícios Gerais

.................................

52

.....................................
2
1.14 Revisão de Coordenadas Polares no R
.....................

60

1.13 Respostas

64

2 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS E DIFERENCIAÇÃO PARCIAL 68
2.1Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2

Função de Várias Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

2.2.5

71

Gráco de uma Função de Várias Variáveis . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.12 Curvas e Superfícies de Nível
2.2.14 Distâncias e Bolas no Espaço
2.3

............................................

Limite de uma Função de duas Variáveis
2.3.9

Propriedades dos Limites

76
77

........................

80

Continuidade de uma Função de duas Variáveis

2.5

Derivadas Parciais

2.6

Derivadas Parciais de Ordem Superior

2.7

Extremos de uma Função de duas Variáveis
2.7.1

75

....................

2.4

2.5.7

69

................

83...
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