Calculo 2

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CALCULO II
Profa.Ms.Wanda Pereira Ignácio
1 – COORDENADAS POLARES
1.1 – Sistemas de coordenadas
Sistema de coordenadas cartesiano: A idéia para este sistema foi desenvolvida em 1637 pelo filósofo e matemático francês René Descartes (1596 - 1650).
Sistema de Coordenadas no plano cartesiano ou espaço cartesiano ou plano cartesiano, é o plano considerado entre duas retas coordenadasperpendiculares que se interceptam em uma origem comum 0. Uma das retas tem direção horizontal e sentido positivo para direita e a outra tem direção vertical com sentido positivo para cima. As retas são denominadas de eixos coordenados e o ponto 0 origem. A reta horizontal é o eixo dos x e a vertical o eixo dos y. A localização de qualquer ponto P nesse plano é feita pelas coordenadas do plano, (x, y)(abscissa e ordenada).



Quadrantes

Nos quadrantes I e III os sinas de x,y são os mesmos (+,+) e (-,-), já nos quadrantes II e IV os sinas de x,y são opostos (-,+) e (+,-), respectivamente.
Distância entre dois pontos
Quando conhecemos as coordenadas de dois pontos A e B do plano, sabemos localizar esses pontos num sistema cartesiano ortogonal e, assim, podemos calcular a distância entre A eB.
Considerando os pontos A e B no plano cartesiano da figura.
Observando o triângulo retângulo ABC, a distância entre os pontos A e B nada mais é que a hipotenusa do triângulo. O triângulo retângulo admite a relação de Pitágoras: hip² = cat² + cat².
Cateto: segmento AC      xB-xA
Cateto: segmento BC      yB-yA
Hipotenusa: segmento AB (distância entre os pontos)
dAB2=xB-xA2+yB-yA2dAB=xB-xA2+yB-yA2 
Ponto Médio de um Segmento de três pontos
No eixo x a distância entre xA:xM e xM:xB são iguais e no eixo y a distância entre yA:yM e yM:yB são iguais.
Conclui-se que:
xM=xA+xB2 e yM=yA+yB2

Exemplo:
a) Calcule a distância entre os pontos que possuem coordenadas A (4,6) e B(3,1) no plano cartesiano.
dAB=x2-x12+y2-y12
dAB=4-32+6-12
dAB=12+52 ∴ dAB=26unidades

b)Calcule o ponto médio entre os pontos A e B da letra (a)
xM=xA+xB2=4+32=72=3,5
yM=yA+yB2=6+12=72=3,5
PM(3,5;3,5)

Sistema de coordenadas polares: O sistema de coordenadas polares é constituído por uma semi-reta fixa, e um ponto localizado sobre esta semi-reta. Seja 0A uma semi-reta de origem no ponto 0. A esta semi-reta damos o nome de eixo polar e a esta origem damos o nome depólo.

Todo ponto P do plano pode ser representado através de duas coordenadas polares dadas pela distância do ponto P ao pólor, chamado de raio vetor ou raio polar, e pelo ângulo θ que pode ser medido em graus ou em radianos, que o segmento 0P forma com o eixo polar. No caso de se utilizar ângulos em radianos, não mencionamos a unidade de medida. O sentido positivo para a marcação dos ângulos éo sentido anti-horário; se o ângulo for negativo, utilizamos o sentido horário. A reta que passa pelo pólo e é perpendicular ao eixo polar, chama-se eixo a noventa.
Denotamos um ponto P por (r,–θ), para r e θ positivos, se θ é tomado no sentido horário. Assim, (r,–θ) = (r,2π–θ) e (r,–θ) é o simétrico de (r,θ) em relação à reta suporte do eixo polar.
Exemplo: O ponto (1,–π/4) =(1,2π– π/4)= (1,7π/4)

Simetria em Relação ao Pólo
Dado um ponto de coordenadas polares P(r,θ) , o seu simétrico em relação ao pólo é o ponto P’(–r,θ)= P’(r,π + θ). Assim, (–r,θ) é o simétrico de (r,θ) em relação ao pólo.

Exemplo. (3,π/2) = (–3, π/2)= (3, 3π/2)

Um mesmo ponto possui uma infinidade de coordenadas polares associadas a ele.
Pontos coincidentes:
A3,600=A3,4200
Dizemos que Ar1,θ1=Br2,θ2se, e somente se, existe um n∈R tal que: r1=-1n.r2 e θ1=θ2+nπ
O par ordenado r,θ de um ponto P é dito par principal de P se, e somente se r≥0 e 0≤θ<2π . Por exemplo, 0,00 é o par principal do pólo.
Exemplo da marcação de alguns pontos em coordenadas polares:
a)2,π4

b) 5,π2

c) 1,2π3

d) 3,7π6

e) 4,-π3

f) 52,-π

g) 2,-5π4

Exemplo: Dado o ponto 4,5π6, ache outro...
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