Calculo 1

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Universidade Federal Rural do Semi-Árido Departamento de Ciências Exatas e Naturais Disciplina: Cálculo I Profa : Suene Campos Período: 2012.2
Lista de Exercícios 1: Números Reais e Funções (Parte 1) 1.

Determine todos os intervalos de números reais que satisfaçam as desigualdades abaixo. Faça a representação gráca.
a)3 − x < 5 + 3x e)x2 ≤ 9 i)x3 + 1 > x2 + x x −3 − 3x ≥ −7 g)1 − x − 2x2 ≥0 k) 2 x+2 ≤ ≤1 x−2 x−2 3 ≤2 x−5 d) h) 5 3 < x 4 x+1 x < 2−x 3+x

∗ Números Reais

f )x2 − 3x + 2 > 0 j)(x2 − 1)(x + 4) ≤ 0 1/2x − 3 >1 4+x

l)x4 ≥ x2 p)x3 − x2 − x − 2 > 0 t)12x3 − 20x2 ≥ −11x + 2

m)

n) r)

o)

3 1 ≥ x+1 x−2 2. Resolva as equações em R. q)x3 − 3x + 2 ≤ 0 a)|5x − 3| = 12 3x + 8 =4 2x − 3 b)| − 4 + 12x| = 7

s)8x3 − 4x2 − 2x + 1 < 0

c)|2x − 3| = |7x − 5|

d)x+2 =5 x−2

e)
3.

f )|3x + 2| = 5 − x

g)|9x| − 11 = x

h)2x − 7 = |x| + 1

Resolva as inequações.
b)|3x − 4| ≤ 2 f )|x + 4| ≤ |2x − 6| j)1 < |x + 2| < 4 n)3|x − 1| + |x| < 1 r) x− x+
1 2 1 2

a)|x + 12| < 7 e)|6 + 2x| < |4 − x| i)|x − 1| + |x + 2| ≥ 4 m)|x| + 1 < x q)
4.

c)|5 − 6x| ≥ 9 g)|3x| > |5 − 2x| k) 2+x >4 3−x

d)|2x − 5| > 3 7 − 2x 1 ≤ 5 + 3x 2 5 1 l) ≥ 2x − 1x−2 h) p)|x − 1| + |x − 3| < |4x|

o)|2x2 + 3x + 3| ≤ 3 o) 3 − 2x ≤ 4| 1+x

1 1 ≥ |x + 1||x − 3| 5

a se e somente se x > a ou x < −a, onde a < 0. d) Se 0 < a < b, então
5.



ab <

a+b 2 .

a) Sob que condições −x > 0? Explique. b) Sob que condições −x < 0? Explique. 1

c) Sob que condições −x = 0? Explique.
6. 7. 8.

Prove que se 0 < x < y , então

1 1 > . x y

Suponha quea > 0, b > 0, c > 0 e d > 0. Prove então que se a < b e c < d, então ac < bd.

Prove que se 0 < x < y , então x2 < y 2 . (Sugestão : Primeiro multiplique a desigualdade x < y por x, em seguida por y , e conclua usando a lei da transitividade).
∗ Funções
1.

Se f (x) =

x2 − 4 , achar: x−1 c)f (x − 2) d)f (t2 )

a)f (0)
2.

b)f (−2)

ax + b e d = −a, mostre que f (f (x)) = x. cx + df (a + h) − f (a) 3. Se f (x) = x2 + 2x, achar , h = 0. h x−1 , forme as expressões Φ(1/x) e 1/Φ(x). 4. Dada Φ(x) = 2x + 7

Se f (x) =

5.

Seja f (x) = (x − 2)(8 − x) para 2 ≤ x ≤ 8. a) Determinar f (5), f (−1/2) e f (1/2). b) Qual o domínio da função f (x)? c) Determinar f (1 − 2t) e indicar o domínio. d) Determinar f (f (3)) e f (f (5)). e) Traçar o gráco de f (x).

6.

Determinar odomínio das seguintes funções:
b)y = f )y = √ 4 − x2 √ 4 7−x c)y = g)y = 1 x−4 √ 3 x+7−
1 x

a)y = x2 e)y = √ x2 − 4x + 3

d)y = √ 5 x+8 h)y =



x−2

i)y = |x + 2| + 4, −5 ≤ x ≤ 2
7.

3+x+ x j)y = x+1



k)y = x −

x+a x−a 1 √ l)y = 1+ x

Trace as curvas denidas pelas equações dadas, identicando as que representam o gráco de uma função y = f (x). Neste caso, determinea função, o domínio e o conjunto imagem.
a)y = 3x − 1 e)x2 + y 2 = 16
8.

b)y − x2 = 0 f )y =
1 x

c)y 2 − x = 0

d)y +



4 − x2 = 0

Construir o gráco, determinar o domínio e o conjunto imagem das seguintes funções:
−x x , se − 2 ≤ x ≤ 0 , se 0 < x < 2   0 1/2 b)f (x) =  1 , se x < 0 , se x = 0 , se x > 0  3  x 1 c)f (x) =  2 x , se x ≤ 0 , se 0 < x < 2 , se x ≥ 2

a)f(x) =
9.

Para cada item, calcule f + g , f − g , f · g , f /g , f ◦ g , g ◦ f , k · f , onde k é uma constante.
b)f (x) = 3x − 2, g(x) = |x| x−3 √ e)f (x) = x3 , g(x) = 1/ 3 x x 1 , g(x) = 2 1+x x √ f )f (x) = x + 1, g(x) = x − 2 c)f (x) =

a)f (x) = 2x, g(x) = x2 + 1 d)f (x) = √ x − 2, g(x) = √

2

10.

Sabendo que f = f ◦ g , nos itens (a), (c) e (d) encontre h e no item (b) afunção g .


a) f (x) = x2 + 1, g(x) = x + 1 b) f (x) =
x + 2, h(x) = x + 2

c) f (x) = a + bx, g(x) = x + a d) f (x) = |x2 − 3x + 5|, g(x) = |x|
10.Sendo f (x) = ax + b, 11.

para quais valores de a e b tem-se (f ◦ f )(x) = 4x − 9?

Sejam f (x) = x − 4 e g(x) = 1 x + 1, x ≥ 3. Calcular f ◦ g . Dê o domínio e o conjunto imagem de 2 f (x), g(x) e (f ◦ g)(x).



  5x , se x ≤ 0...
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