Calcuclo vetoral

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Universidade Federal do Maranh˜o a Centro de Ciˆncias Exatas e Tecnologia e Departamento de Matem´tica a

´ CALCULO VETORIAL

4 3 2 1 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1 −2 −3 −4 −5 1 2 3 4 5

Maxwell Mariano de Barros S˜o Lu´ - MA a ıs 2011

Pref´cio a
Este texto foi produzido como base para o Curso de Licenciatura em Matem´tica, a na modalidade de Ensino ` Distˆncia, mantido pela UniversidadeFederal do Maranh˜o. a a a Ele tem como unico pr´-requsito um curso regular de Geometria Anal´ ´ e ıtica. A exposi¸˜o ca foi conduzida de forma a apresentar em bases s´lidas os conceitos e resultados apreo sentados, deixando, ao mesmo tempo, um conjunto de atividades, distribu´ ıdas entre as quest˜es presentes no corpo do texto e as grupos de exerc´ o ıcios ao fim de cada cap´ ıtulo. ´ E fundamental queo aluno se esforce para realizar as atividades propostas. O conhecimento adquirido de forma ativa ´ duradouro, comparado ao pseudo-aprendizado obtido e com a mera leitura. O texto est´ estruturado da seguinte forma. Inicialmente, uma linguagem b´sica a a e fundamental ´ introduzida: os conceitos de matrizes e sistemas de equa¸˜es lineares. e co Mesmo aqui o leitor notar´ que o rigor e a precis˜os˜o preocupa¸˜es constantes. a a a co Em seguida s˜o apresentados os conceitos e resultados sobre os objetos centrais a do curso: vetores. A partir daqui, revisita-se, sob uma ´tica diferente daquela da o Geometria Anal´ ıtica, alguns dos principais entes geom´tricos: retas e planos. O texto e finaliza com uma apresenta¸˜o resumida de algumas cˆnicas e qu´dricas. ca o a Coment´rios e corre¸˜es devemser enviados diretamente ao autor. a co S˜o Lu´ 10 de janeiro de 2011. a ıs, Maxwell Mariano de Barros DEMAT - UFMA mxwbarros@gmail.com

i

ii

Sum´rio a

Pref´cio a 1 Matrizes e Sistemas Lineares 1.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Opera¸˜es com matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . co 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.41.2.5 1.2.6 Somas de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Multiplica¸˜o de um Escalar por uma Matriz . . . . . . . . . . . ca A Transposta de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i 1 1 2 3 4 5 6 9 10 12 14 17 18 18 26 28 29 29 31 32 34 36 37

Multiplica¸˜o de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca O Tra¸o de uma Matriz Quadrada . . . . . . . . . .. . . . . . . c Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 1.3.2 Propriedades do Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4 Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 1.4.1 1.4.2 1.4.3 Defini¸˜es e Resolu¸˜o por Opera¸˜es Elementares . . . . . . . . co ca co Um Pouco da Teoria das Equa¸˜es Lineares . . . . . . . . . . . co Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Vetores no Espa¸o c 2.1 Reta Orientada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 2.2 Algebra de Vetores . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 Soma de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Produto de N´ meros Reais por Vetores . . . . . . . . . . . . . . u Soma de Pontos com Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

iv 2.3

´ SUMARIO Dependˆncia e Indepedˆncia Linear . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . e e 2.3.1 2.4 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 41 42 47 48 52 53 53 55 55 59 60 61

Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5

Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
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