CalcNumerico ZEROS 1

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UNIVERSIDADE CATOLICA
DE PELOTAS – UCPEL
Centro Polit´ecnico – Curso de Engenharia Civil

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CALCULO
NUMERICO
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EXERC´ICIOS PROPOSTOS: ZEROS REAIS DE FUNC
¸ OES
REAIS
Semestre 2012/2
Professor: Wemerson D. Parreira
12 de Outubro de 2012.

Orienta¸ c˜ oes
Alguns destes exerc´ıcios compor˜ ao a 2a Lista de exerc´ıcios. Use a rela¸c˜ao |xn+1 − xn | ≤ max ou
|f (xn+1 )| < max para avaliar a precis˜ ao nos M´etodos do Ponto Fixo e M´etodo de Newton.
Q. 1: Localize graficamente as ra´ızes das equa¸c˜oes a seguir:
a. 4 cos(x) − e2x = 0 x − tan(x) = 0
b.
2
c. 1 − x ln(x) = 0
Q. 2: Seja f (x) = ex −4x2 e α sua raiz no intervalo (0, 1). Tome x0 = 0.5 e determine α com usando: max

= 10−4 ,

a. o M´etodo do Ponto Fixo com φ(x) = 0.5 ex/2
b. o M´etodo de Newton
c. comente os resultados obtidos.
Q. 3: Seja a equa¸c˜ ao f (x) = x − x ln x = 0.
a. Determine um intervalo contendo a solu¸c˜ao positiva da equa¸c˜ao.
b. Estime quantas itera¸c˜ oes s˜ ao necess´ arias para a convergˆencia do m´etodo da bissec¸c˜ao.
c. Considere x0 igual ao ponto m´edio do intervalo escolhido e determine uma solu¸c˜ao pelo m´etodo do ponto fixo com max = 10−5 .
d. Considere x0 igual ao ponto m´edio do intervalo escolhido e determine uma solu¸c˜ao pelo m´etodo de
Newton com max = 10−5 .
e. Comente os resultados obtidos nos itens (b)–(d).
10 3
5
x + x tem seus cinco zeros reais, todos no intervalo (−1, 1).
9
21
a. Verifique que x1 ∈ (−1, −0.75), x2 ∈ (−0.75, −0.25), x4 ∈ (0.3, 0.8), x5 ∈ (0.8, 1).
Q. 4: O polinˆ omio p(x) = x5 −

b. Determine pelo respectivo M´etodo, usando
i.
ii. iii. iv.

x1 : x2 : x4 : x5 :

max

= 10−5 :

M´etodo Newton (x0 = −0.8)
Bissec¸c˜
ao ([a, b] = [−0.75, −0.25])
M´etodo do Ponto fixo (I = [0.2, 0.6] e x0 = 0.4)
M´etodo de Newton (x0 = 0.9)

Q. 5: O valor de π pode ser obtido a partir da resolu¸c˜ao das seguintes equa¸c˜oes:
a. sen (x) = 0
b. cos(x) + 1 = 0
Aplique o m´etodo de Newton com x0 = 3 e precis˜ao 10−7 em cada caso e compare os resultados obtidos.
Justifique.