Calc 1

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CAPÍTULO 2 – LIMITES DE FUNÇÕES
2.1 – Introdução ao Conceito de Limite
O conceito de limite de uma função f é um dos conceitos principais e fundamentais que
diferenciam o Cálculo da Álgebra e da Trigonometria.
No Cálculo e suas aplicações, em geral o que será interessante são os valores de f ( x ) de uma
função f que estejam próximos de um número a , mas que não sejam necessariamente iguaisa a .
Isso ocorre, pois nem sempre o valor de a está definida no domínio de f , ou seja, f ( a ) não é
definida.
Como exemplo, considere a seguinte função:
f ( x)

x3 2x 2
3x 6

Analisarmos o que acontece com a 2 , pode-se notar facilmente que este valor não pertence ao
domínio de f , uma vez que substituindo x 2 na expressão, se obterem uma indeterminação, ou
0
seja, .
0
No entanto,para tentar solucionar este problema vamos, primeiramente, analisar alguns valores da
função.
x

x

f ( x)
1,9
1,20333333
1,99
1,32003333
1,999
1,33200033
1,9999
1,33320000
1,99999 1,33332000
1,999999 1,33333200

f ( x)
2,1
1,47000000
2,01
1,34670000
2,001
1,33466700
2,0001
1,33346667
2,00001 1,33334667
2,000001 1,33333467

Note que ao substituir alguns valorespróximos de x 2 na função, parece que a imagem está cada
4
1,333333 ... , mas não se pode garantir tal fato, pois analisar apenas alguns
vez mais próxima de
3
valores de x próximos de 2 não é suficiente. Para chegarmos a um parecer definitivo, deve-se tentar
fatorar a expressão, ou seja:

f ( x)
E, considerando x

x 3 2x 2
3x 6

x 2 ( x 2)
3( x 2)

2 , a função pode ser escrita daseguinte forma:

Notas de Aula – Cálculo I – FATEC TATUAPÉ

1

f ( x)

x2
3

x2
4
, com o ponto 2,
omitido, conforme o gráfico a
3
3

Assim, o gráfico de f ( x ) é a parábola y
seguir:

Geometricamente, podemos notar que quanto mais próximo de 2 estiver x, mais próximo de

4
3

estará f ( x ) , conforme tínhamos notado na tabela.
De maneira geral, se uma função f é definidaem um intervalo I aberto, contendo um número real
a , exceto possivelmente no próprio a , podemos fazer duas perguntas:
1 – À medida que x está cada vez mais próxima de a ( x
número real L?

a ), o valor de f ( x ) tende para um

2 – Podemos tornar o valor da função f ( x ) tão próximo de L quanto queiramos, escolhendo x
suficientemente próximo de a ( x a )?
Se puder responder a estasperguntas afirmativamente, temos:
lim f ( x)
x

a

L

E dizemos que o limite de f ( x ) , quando x tende para a é L, ou dizemos que f ( x ) se aproxima de
L quando x se aproxima de a . Podemos também usar a seguinte notação:
f ( x)

L quando x

a

Usando a notação de limites, podemos denotar o resultado de nossa ilustração da seguinte forma:
lim
x

2

x3 2x 2
3x 6

Notas deAula – Cálculo I – FATEC TATUAPÉ

4
3

2

Intuitivamente, a definição lim f ( x)
x

a

L , significa que podemos tomar f ( x ) tão próximo de L

quanto quisermos, escolhendo x suficientemente próximo de a e x

a.

Graficamente,

x3 2x 2
, pudemos simplificá-la, no entanto, nem sempre tal
3x 6

Quando estudamos a função f ( x)
procedimento algébrico será possível.

sen (x)
. Este limite existe?
0
x

Vamos analisar o seguinte limite: lim
x

0
. Vamos analisar
0
algumas aproximações de f ( x ) para x próximo a 0, onde x é um número real ou a mediada de um
ângulo em radianos. Estes valores estão descritos na tabela a seguir:

Note que quando tomamos x

x

0 , obtemos uma indeterminação, ou seja,

Graficamente, temos:

sen ( x)
x
0,4546487130,841470985
0,958851077
0,985067356
0,998334166
0,999999833
0,999999995
y

2,0
1,0
0,5
0,3
0,1
0,001
0,0001

Ao analisarmos a tabela e o gráfico, chegamos à conclusão que
sen ( x)
0
x

lim
x

1

Mas este resultado não pode ser tomado como verdade, uma vez que analisamos apenas alguns
valores da função. Mas este resultado será mostrado mais adiante em nosso curso....
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