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Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda Professora: Salete Souza de Oliveira Buffoni

Exercícios Resolvidos Assunto: Integral Dupla
Comentários Iniciais: É com imenso prazer que trago alguns exercícios resolvidos sobre integrais duplas e suas aplicações. Espero que você tenha um conspícuo aprendizado do tema. Não esqueça de constantemente recorrer aos livros, pois eles sãoexcelente fonte de aprendizado. Qualquer Dúvida me escreva. e-mail: salete@vm.uff.br

Reflexão " Doce é a Luz e ver o sol deleita os olhos. Se tu viveres por muitos anos, que os desfrute todos, sempre lembrando que os dias sombrios são numerosos e tudo o que acontece é vaidade. Estejas feliz na tua juventude e afasta a tristeza do teu coração. Anda segundo os desejos do teu coração, conforme oque teus olhos vêem. Mas fica sabendo que por tudo o que fizeres aqui, Deus te pedirá conta." Salomão 935 a. C

1

Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de Volta Redonda Professora: Salete Souza de Oliveira Buffoni

1. Integral Dupla

∫∫ f (x, y )dxdy

∫ f (x, y )dx
1.

R

y = cte

Exercícios Resolvidos

y =0 y =0 2

∫ ∫ ydydx
2

2

x2

1 2x y | dx 2∫ 0 0 1 4 xdx 2∫ 0 1 1 52 ⋅ x | 2 5 0 1 (2)5 = 32 = 16 10 10 5
2.
2

∫ ∫ (x + 2 )dydx
0 0

1 2

∫ (x + 2 )y 0|
0 1 0

1

2

∫ (x + 2 )2dx
2 ∫ (x + 2 )dx
0 1

⎡ x2 ⎤1 2⎢ + 2 x⎥ | ⎣ 2 ⎦0 ⎛5⎞ 2⎜ ⎟ = 5 ⎝2⎠

Outra forma:

∫ ∫ (x + 2)dxdy
0 0 1 x2 + 2 x | dx ∫2 0 0 2

2 1

2

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2∫ 2 dy
0

5

5 2 y| =5 2 0

Encontrou-se o mesmo resultado. 3.

∫ ∫ x 2 + y 2 dxdy
1 0 e

e y

1


1 e 1 e

1 xy arctg | dy y y0 1

∫ y (arctg1 − arctg0 )dy ∫
1

π 1π dy = y 4 4


1

e

e dy π = Lny | y 4 1

π
4

[ln e − ln 1] = π

4

2. Interpretação da Integral Dupla

∫∫ f (x, y )dxdy
Seja z = f ( x, y ) contínua na região R
Vi = f xi , y j ∆x i∆y j V ≅ ∑∑ f x i , y j ∆x i ∆y j
i =1 j =1 n m

R

(

)

(

)

V = Lim ∑∑ f x i , y j ∆xi ∆y j
n →∞ m → ∞ i =1 j =1

n

m

(

)

V = ∫∫ f (x , y )dxdy
R

V = A ⋅ b ⋅ h se h = 1 V = A⋅b fazendo
R

f (x , y ) = 1

∫∫ dxdy = AR

3

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1. Cálcule a árearetangular R
z

2 2 R 4

6 y

x

AR = ∫∫ dxdy
R

⎧2 ≤ x ≤ 4 R⎨ ⎩2 ≤ y ≤ 6 AR = AR = AR = AR =
x=2 y =2

∫ ∫ dydx ∫
4 4 6

4

6

y | dx
2

x=2

x=2 4

∫ 6 − 2dx ∫ 4dx
4 2

x=2

AR = 4 x |

AR = 16 − 8 = 8

3. Cálculo de áreas por Integral Dupla
A = ∫∫ dxdy
R

4

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1. Determinar a área da região limitada pelas curvas y = x 3 e y = 4 x no 1º Quadrante.

0

2

⎧y = x3 ⎨ ⎩y = 4x ⎧0 ⎪ x − 4 x = 0 ⎨+ 2 ⎪− 2 ⎩
3

⎧0 ≤ x ≤ 2 R =⎨ 3 ⎩x ≤ y ≤ 4 x A= A= A=

x =0 y = x 3 2 4x
3

∫ ∫ dydx

2

4x

∫ y x| dx
0

x ∫ (4 x − x )dx = 4 2
2 3 0

2



x4 2 |=4 4 0

2. Determinar a área da região limitada pelas curvas y = 2 x e y = x no 1ºQuadrante.

y = 2x
y=x

0

2

5

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y 2 = 2x ⎧y = 2x ⎨ ⎩y = x
2

e

y=x

x 2 = 2x x 2 − 2x = 0 x( x − 2 ) = 0 ⎧x = 0 ⎨ ⎩x = 2 ⎧0 ≤ y ≤ 2 ⎧0 ≤ x ≤ 2 ⎪ ⎪ R⎨ ou R ⎨ y 2 ⎪x ≤ y ≤ 2 x ≤x≤ y ⎪ ⎩ ⎩ 2
1

A=

x =0 y = x 2

∫ ∫ dydx

2

2x 2

1 ⎞ ⎛ ⎜ 2 x 2 − x ⎟dx A=∫ ⎟⎜ 0⎝ ⎠ 3 2 x2 2 2 (2 ) 2 − | 3 2 0 3 2 A= 2 2 −2 3 8 8 −6 2 = A= −2 = 3 3 3 Outra forma

A=

( )

A=

y =0 2

∫ ∫ dxdy
x= y2 2

2

y

⎛ y2 ⎞ ⎜y− ⎟dy A= ∫⎜ 2 ⎟ ⎠ 0⎝ y2 y3 2 A= | − 2 6 0 4 6 −4 2 A= 2− = = 3 3 3

6

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4. Momento e Centro de Gravidade de Áreas Planas...
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