Cálculo ii

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CÁLCULO II – Séries
Sucessões de Números Reais
(un)nϵN
Monotonia | Crescente: un+1≥un |
| Estritamente Crescente: un+1>un |
| Decrescente: un+1≤un |
| Estritamente Decrescente: un+1<un |
Limitada superiormente: ∃α∈R:un≤α
Limitada inferiormente: ∃β∈R:un≥β
Limitada: ∃α,β∈R:α≤un≤β
Progressão geométrica
un=u1rn-1
Razão da Progressão Geométrica
r=un+1un
Soma dos nprimeiros termos de uma Progressão Geométrica
sn=u1.1-rn1-r
Sucessão de termos positivos
Se ∃limn→+∞un+1un, então limn→+∞nun=limn→+∞un+1un
* limn→+∞nnp=1
* limn→+∞nn!=+∞
Séries Numéricas
a1+a2+a3+…+an=n=1∞an=n≥1an
Sucessão das Somas Parciais
sn=a1+a2+…+an=n=1∞ak
Convergência
n=1∞an é convergente se limn→+∞(sn)=s→soma
n=1∞an é divergente se ∄limou é infinito
n=1∞an e n=p∞an têm a mesmanatureza
Série Geométrica de Razão r
n=1∞arn-1 converge se r<1 e diverge se r≥1
n=0∞rn converge se r<1 e tem soma 11-r e diverge se r≥1
Série de Mengoli
O termo geral pode ser escrito na forma: an=un+p-un ou an=un-un+p
Se p=1:an=un-un+1 ou an=un+1-un
Condição Necessária de Convergência
Se an converge ⟹liman=0
liman=0 ⇏an converge, nada concluímos
∄limanou ≠0⟹an divergePropriedades das Séries
an e bn
i. Se an é convergente então βan também é convergente. βan=βan
ii. Se an e bn são convergentes então (an±bn) também é convergente. (an±bn)=an±bn
iii. Se an é convergente e bn é divergente então (an+bn) é divergente
iv. Se an é divergente então ∀α≠0, αan é também divergente.
Critério de Convergência Para Série de Termos Não Negativos
an , série de termosnão negativos, an≥0. A série converge se a sucessão de somas parciais é limitada superiormente.
Critério do Integral
an≥0; f:[1/p;+∞[→R, decrescente em [1/p;+∞[ tal que fn=an
Então n=1/p∞an e 1/p∞fxdx têm a mesma natureza (Para p>1 também é válido)
i. Se 1∞fxdx for convergente 1∞an é convergente
ii. Se 1∞fxdx for divergente 1∞an é divergente
Série de Dirichelet
n=1∞1np , de ordemp (1∞1xp) convergente se p>1 e divergente se p≤1
n=1∞1n Série Harmónica, divergente.
Critérios de Comparação
∃n0∈N:0≤an≤bn,∀n≥n0
i. Se bn (série de termo geral maior) converge ⟹an é convergente
ii. Se an (série de termo geral menor) converge ⟹bn é divergente
Critério de Comparação por Passagem ao Limite
(comparação dos termos gerais de duas séries)
an, an≥0 e bn,bn>0.L∶=limn→+∞anbn . Então:
i. Se L∈R+, L∈]0,+∞[, an e bn têm a mesma natureza
ii. Se L=0 e bn converge ⟹an também converge
iii. Se L=+∞ e bn diverge ⟹an também diverge
Série dos Módulos
an converge ⟹an converge.
an diverge ⟹ an diverge.
an converge ⇏ an converge.
Convergência Simples e Convergência Absoluta
an é absolutamente convergente se an é convergente.
an é simplesmente convergente sean é divergente.
Critério de Cauchy/Critério da Raíz
an série de termos não nulos. ∃L∶=limnan. Então:
i. Se L<1, Lϵ[0,1[, então an é absolutamente convergente
ii. Se L>1, Lϵ]1,+∞[, então an é divergente
Obs: Se L=1 nada se pode concluir.
Critério de D’Alembert
an série de termos não nulos. ∃L∶=liman+1an. Então:
i. Se L<1, Lϵ[0,1[, então an é absolutamente convergenteii. Se L>1, Lϵ]1,+∞[, então an é divergente
Obs: Se L=1 nada se pode concluir.
Série Alternada
an é alternada se os seus termos se podem escrever na forma an=(-1)nun ou an=(-1)n+1un , onde un>0
Critério de Leibniz
(condições para convergência de uma série alternada
an sucessão de termos positivos;
an+1≤an monótona decrescente;
limn→+∞an=0
Então a série alternada (-1)nan éconvergente

Séries de Potências
Serie de potências centrada em c∈R é toda a série do tipo n=0∞an(x-c)n
(x-c)0=1; x=c→(c-c)0=1
Se c=0 diz-se que a serie de potências é centrada na origem e é da forma n=0∞anxn
Reduzir o estudo de uma série não centrada na origem no caso de uma série centrada na origem, fazendo x-c=z ficando n=0∞anzn
Domínio de Convergência
Conjunto de todos os x∈R para os...
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