Cálculo 2 máximos e mínimos

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Cálculo II
Capítulo 8. Máximos e Mínimos.

Um dos principais usos de derivadas ordinárias é determinar os pontos de máximo e mínimo de funções
de 1 variável. Veremos agora como achar os pontos de máximo e mínimo de uma função de 2 variáveis.

Definição. Uma função de 2 variáveis tem um máximo local em ( , ) se:
( , ) ≤ ( , ), ( , ) ≈ ( , ).

Note. Denotamos acima ( , ) ≈ ( , ) paraindicar que o ponto ( , ) está próximo a ( , ), ou seja,
está em algum disco centrado em ( , ).
Note. O número ( , ) é chamado de valor máximo local.

Note. Se ( , ) ≥ ( , ), ( , ) ≈ ( , ), então ( , ) é um valor mínimo local.

Teorema. Se tem um valor máximo ou mínimo local em ( , ) e as derivadas parciais de 1ª ordem
, existem em ( , ), então ( , ) = 0 e ( , ) = 0.

Note. Tome = e defina ( )≡ ( , ). Se tem um valor máximo ou mínimo local em ( , ), então
tem um valor máximo ou mínimo local em ( ), portanto ( ) = 0 pelo teorema de Fermat. Mas
( ) = ( , ), logo ( ) = 0 ⇒
( , ) = 0. Similarmente, obtemos que ( , ) = 0.
Note. Podemos expressar a conclusão do teorema acima como ∇ ( , ) = 0.

Note. Se ( , ) = 0 e ( , ) = 0, então a equação do plano tangente ao gráfico de em ( , ) setorna simplesmente = , ou seja, o plano tangente ao gráfico de é um horizontal em um ponto de
máximo ou mínimo local.

A fim de determinar se tem um extremo num ponto crítico, temos, analogamente ao teste da 2ª
derivada para funções de 1 variável:

Teste da 2ª derivada.
Suponha que as derivadas parciais de 2ª ordem de sejam contínuas em um disco com centro em
( , ). Suponha também que (, ) = ( , ) = 0 (ou seja, ( , ) é um ponto crítico de ). Então,
( , )=
a) s e
b) se
c) se

(,)

( , )−

( , )=

( , ) > 0, ( , ) é um mínimo local;
>0 e
( , ) < 0, ( , ) é um máximo local;
>0 e
< 0, ( , ) não é nem um mínimo nem um máximo local (é um ponto de sela).
( , ) por

Note. Acima, podemos substituir

Note. Em um ponto de sela, o gráfico de

( , ).

cruza o planotangente ao gráfico no ponto.

Note. Se = 0, o teste não decide se
ponto de sela.

tem um máximo ou mínumo local no ponto, ou se este é um

Exemplo. Se ( , ) =

, determine seus pontos críticos e seus pontos extremos.



+

=4


− 16


= 0,

=4

= 0,

=4

=0



= 2,

Pontos críticos reais: (0,0), (2,2) e (−2,2).
= 12

,

= 144

= −16,

= 12

− 256 ⇒− 16 ,

(

=4



=4 ,

−4 )= (

= −2 ⇒


= 0,

(0,0) = 0,

− 16

=4

− 4 )(
= 2,

+4 )= 0

= −2.

(2,2) =

(−2,2) = 48,

(0,0) = −256, (2,2) = (−2, −2) = 2048,

Logo (0,0) < 0 ⇒ (0,0) é um ponto de sela, e (2,2) = (−2, −2) > 0,
0 ⇒ (2,2) e (−2, −2) são pontos de mínimo local.

(2,2) =

(−2, −2) >

Definição. Um ponto ( , ) é um ponto crítico (ouponto estacionário) de
0, ou se alguma destas derivadas parciais não existe.

se

( , )=0e

( , )=

Note. Se tem um valor máximo ou mínimo local em ( , ), então ( , ) é um ponto crítico de . No
entanto, nem todos pontos críticos são pontos de valor máximo ou mínimo local. Pontos onde assume
um valor máximo ou mínimo local são chamados pontos extremos de .

Exemplo. Determine a menordistancia entre o plano = 2 + 2 + 4 e o ponto ( , , ) = (1,1,1).

Primeiramente, como 2 + 2 + 4 ≠ 1, o ponto não está no plano, portanto a distancia mínima é positiva.
Como é uma função não-negativa, minimizar o quadrado da distancia levará ao mesmo resultado:
( , , ) = ( − 1) + ( − 1) + ( − 1)

⇒ ( , ) = ( − 1) + ( − 1) + (2 + 2 + 4 − 1)


= 2( − 1) + 4(2 + 2 + 4 − 1) = 10 + 8 + 10
= 2( −1) + 4(2 + 2 + 4 − 1) = 10 + 8 + 10

Logo ( , ) = (− , − ) é o unico ponto crítico. Como
− ,−

= 36 > 0, e

= 10 > 0, então o valor

= 10,

− ,−

= 8,
=

= 10, então

− ,− ,

, ou seja,

=

é um mínimo local.
Note. Intuitivamente, uma vez que a distancia é uma função não-negativa, sabemos que o (único) valor
mínimo local é um mínimo global. Deve haver um ponto no plano...
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