Briot ruffini

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  • Publicado : 11 de abril de 2011
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Dispositivo de Briot-Ruffini

Olá a todos, atendendo a pedidos, segue uma descrição sobre este dispositivo. Ele vai nos auxiliar muito na busca por raízes de polinômios. Vamos ver o que é e para que serve.

Este dispositivo tem por objetivo simplificar o processo de busca de raízes de um polinômio, como já disse. No fundo, o que ele faz é simplificar o procedimento de divisão de um polinômiode qualquer grau pelo polinômio x-a. Vamos lembrar alguns conceitos: o que é um polinômio de grau n? É uma expressão do tipo an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + ... +a2 x2 + a1 x + a0. Por exemplo, 4x3 -2x2 + 5x +1 é um polinômio de grau 3. x5 – 32 é um polinômio de grau 5. x + 1 é um polinômio de grau 1 (que alguns textos chamam de monômio, mas não se incomode com isso, assim como um polinômio degrau 2 também é chamado de binômio e um de grau 3 é chamado de trinômio). Outra forma de escrever a expressão geral de um polinômio é mais compacta, utilizando o símbolo de somatório. Assim [pic]. É exatamente a mesma expressão que está escrita acima, sem tirar nem por, só que está feita de uma forma compacta. Algumas pessoas se assustam quando vêem o símbolo de somatório, mas habitue-se a ele, poisvocê o verá bastante, principalmente quando for estudar matemática financeira, ok?

Na expressão compacta, com somatório, já escrevi na forma de uma função polinomial. Muitas vezes vamos confundir uma coisa com a outra (polinômio com função polinomial. Não se preocupe com isso agora!).

Muito bem,dissemos que o dispositivo de Briot-Ruffini serve para auxiliar na busca por raízes de funçõespolinomiais, mas o que é uma raiz? Uma raiz é um valor de x que faz com que uma função seja igual a zero. No gráfico, queremos saber os pontos em que o gráfico corta o eixo x. Certo? Esses valores são importantes para várias coisas. Para fatorar o polinômio, para fazermos o gráfico, para determinarmos o domínio da função, para muitas outras coisas que não cabem agora, mas muitas vezes precisamosdeterminar esses valores. Muitos avanços da matemática surgiram na busca por expressões que permitissem calcular raízes de funções polinomiais.

De um polinômio de grau 1 é simples, não é? Se queremos encontrar a raiz de 2x – 4 , é só resolver a equação 2x – 4 = 0 e facilmente obtemos o valor x = 2. Já para um polinômio de grau 2 não é tão imediato... temos a famosa fórmula de Baskhara, ou seja, sequeremos as raízes do polinômio ax2 + bx + c, precisamos resolver a equação ax2 + bx + c=0 e temos que x = [pic]. Reparem que temos até duas raízes para um polinômio de grau 2. Isso é um teorema importante: um polinômio de grau n tem no máximo n raízes. Existem fórmulas como a de Baskhara para obter as raízes de polinômios de graus 3 e 4, mas são tão complexas que são pouco usadas. Já parapolinômios de grau maior que 4, foi demonstrado que não existem fórmulas em termos usuais para resolver o problema (chamado teorema de Abel-Ruffini).

Muito bem, mas muitas vezes, saber que não existe, já é uma boa resposta! :-)
Vamos voltar ao dispositivo de Briot-Ruffini. O que ele faz? Antes disso, vamos falar de outra coisa. Acima falamos em “fatorar” um polinômio. O que significa isto, significaescrever o polinômio como um produto de vários polinômios menores. Isso facilita muito alguns cálculos e é uma coisa bastante procurada também. Um polinômio pode ser fatorado se soubermos suas raízes. Se x1, x2, ..., xn são as raízes de um polinômio [pic] de grau n, então, ele pode ser fatorado como an(x-x1)(x-x2)...(x-xn).. Observe que se igualarmos a zero, as raízes ficam evidentes (se umproduto é zero, pelo menos um dos fatores é zero, não é mesmo?) Vejamos um exemplo, vamos ver o polinômio de grau 2, 2x2 + 3x -2. Vamos fatorá-lo. O primeiro passo é encontrar suas raízes. Usando a fórmula de Baskhara, temos [pic], portanto as raízes são [pic] e x = - 2. Portanto, o polinômio pode ser fatorado como [pic] (faça os cálculos ao contrário, ou seja, faça a multiplicação e verifique que o...
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