Book complexos

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An´lise Complexa
a
Jos´ Luis Silva
e
Departamento de Matem´tica
a
Universidade da Madeira
9000 Funchal
Madeira

Conte´do
u
1 N´meros Complexos
u
1.1 Breve nota hist´rica . . . . . . . . . . .
o
1.2 Defini¸˜es e propriedades . . . . . . . .
co
1.3 Complexos conjugados. Valores absolutos
1.4 Forma polar. Potˆncias e quocientes . .
e
Exerc´
ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . .

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......

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2 Fun¸˜es Anal´
co
ıticas
2.1 Fun¸˜es Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
co
2.1.1 Fun¸˜o exponencial . . . . . . . . . . . . . . . .
ca
2.1.2 Fun¸˜es trigonom´tricas . . . . . . . . . . . . .
co
e
2.1.3 Fun¸˜o logar´
ca
ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Potˆncias complexas . . . . . . . . . . . . . . .
e
2.1.5Fun¸˜es trigonom´tricas e hiperb´licas inversas
co
e
o
2.2 Transforma¸˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
co
2.3 No¸˜es topol´gicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
co
o
2.4 Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Equa¸˜es de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . .
co
2.6 Fun¸˜es harm´nicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
co
o
2.7 Derivadas de fun¸˜eselementares . . . . . . . . . . . .
co
2.7.1 Fun¸˜o exponencial . . . . . . . . . . . . . . . .
ca
2.7.2 Fun¸˜es trigonom´tricas . . . . . . . . . . . . .
co
e
2.7.3 Fun¸˜o logar´
ca
ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.4 Potˆncias complexas . . . . . . . . . . . . . . .
e
Exerc´
ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i

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47
48
48
51
55

´
CONTEUDO

ii
3 Integrais
3.1 Integral de caminho . . . . . . . . . .
3.2 O teorema de Cauchy-Goursat . . . .
3.3 F´rmula integral de Cauchy . . . . .
o
3.4 M´dulo m´ximo de fun¸˜es anal´
o
a
coıticas
Exerc´
ıcios . . . . . . . . . . . . . . .

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4 S´ries de fun¸˜es anal´
e
co
ıticas
4.1 Convergˆncia de sucess˜es e s´ries . . . . . . . . . .
e
o
e
4.2 S´ries de potˆncias e teorema de Taylor . . . . . .
e
e
4.3 S´ries de Laurent e Classifica¸˜o de Singularidades
e
ca
Exerc´
ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
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59
67
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83
83
90
97
113

5 C´lculo de Res´
a
ıduos
117
5.1 T´cnicas para o c´lculo de res´
e
a
ıduos . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.2 O teorema dos res´
ıduos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.3 Suplemento ao teorema dos res´
ıduos . . . . . . . . . . .. . . . 126
5.3.1 Ponto no infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.3.2 Res´
ıduos e comportamento no infinito . . . . . . . . . . 128
5.4 Aplica¸˜o ao c´lculo de integrais reais impr´prios . . . . . . . 130
ca
a
o

5.4.1 Integrais do tipo −∞ f (x) dx . . . . . . . . . . . . . . 130
5.4.2 Integrais impr´prios envolvendo fun¸˜es trigonom´tricas 135
o
co
e
5.4.3 Integrais definidos defun¸˜es trigonom´tricas . . . . . 149
co
e
5.4.4 Integrais em torno de um ponto de ramifica¸˜o . . . . . 151
ca
5.5 Soma de S´ries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
e
Exerc´
ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

Cap´
ıtulo 1
N´meros Complexos
u
Neste cap´
ıtulo definimos o conjunto dos n´ meros complexos (denotado por
u
C) usando o plano xy(denotado por R2 ) para os representar os n´ meros comu
plexos, ideia original de J. R. Argand. Depois de introduzirmos a soma e multiplica¸˜o de n´ meros complexos vamos provar que o conjunto dos n´ meros
ca
u
u
complexos forma um corpo, ver Teorema 1.2.4 em baixo. Isto ´ essencie
almente o conte´ do da Sec¸˜o 1.2. Nas Sec¸˜es 1.3 e 1.4 vamos explorar
u
ca
co
outras propriedades dos n´ meros...
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