Bobao

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2 Distância de um ponto P a um plano _
Dado um ponto P e um plano _, a distˆancia entre P e _ ´e a menor das
distˆancias d(P,Q), onde Q ´e um ponto de _. Como no caso da distˆancia de
um ponto a uma reta, este m´ınimo ocorre quando o vetor PQ ´e ortogonal ao
plano (ou seja, paralelo ao vetor normal do plano). Esta afirma¸c˜ao ´e obtida
exatamente como no caso da distˆancia de um ponto a umareta.
Para calcular a distˆancia de P a _ veremos dois m´etodos:
• M´etodo 1: Considere a reta r normal ao plano _ que cont´em P.
Calcule o ponto de interse¸c˜ao Q de _ e r. A distˆancia procurada ´e a
distˆancia entre P e Q.
• M´etodo 2: Considere um ponto qualquer R de _ e o vetor normal n
de _. Calcule o vetor w obtido como a proje¸c˜ao do vetor PR em n. O
m´odulo de w ´e a distˆanciaprocurada.
• M´etodo 3: Usando o produto misto. Considere dois vetores v e w
paralelos ao plano _ e um ponto Q do plano _. Considere o paralelep
´ıpedo _ com arestas v, w e PQ. O volume do paralelep´ıpedo _
´e
|PQ ・ (v × w)| = (´area base) ・ ([h]altura) = ||v × w|| ・ h.
4
P
R
d
v
h
A = (b)(h)
b
Figura 4: Distˆancia entre ponto e reta: usando produto vetorial
Temos que h ´e exatamentea distˆancia de P a _.
Exerc´ıcio 1. Com a nota¸c˜ao acima, que propriedade verifica o ponto T =
P + w?
Exemplo 2. Calcule a distˆancia do ponto P = (1, 0, 1) ao plano _ : x+2 y− z = 1.
Resposta: Usando o primeiro m´etodo, temos que r = (1 + t, 2t, 1 − t). A
interse¸c˜ao da reta r e do plano _ ocorre quando t verifica (substituindo a
equa¸c˜ao da reta na do plano)
(1 + t) + 2 (2 t) − (1 −t) = 1,
isto ´e, t = 1/6. Logo Q = (7/6, 2/6, 5/6) e PQ = (1/6, 2/6,−1/6). A
distˆancia ´e o m´odulo de PQ = (1/6, 2/6,−1/6), ou seja, 1/√6.
Usando o segundo m´etodo escolhemos o ponto R = (1, 0, 0) do plano
_, logo PR = (0, 0,−1). Consideremos um vetor unit´ario normal ao plano
n = (1/√6, 2/√6,−1/√6). A proje¸c˜ao de PR em n ´e
(PR ・ n) n = 1/√6(1/√6, 2/√6,−1/√6) = (1/6, 2/6,−1/6).
Estevetor tem m´odulo (que ´e a distˆancia procurada) igual a 1/√6.
Obviamente, T ´e o ponto Q do primeiro m´etodo! (isto responde ao Exerc
´ıcio 1). _
5
P
R
_
d w
T
n
Figura 5: Distˆancia entre ponto e plano: usando proje¸c˜oes
3 Distˆancia de uma reta r a um plano _
A distˆancia entre uma reta r e um plano _ ´e a menor das distˆancias entre
pontos P da reta r e Q do plano _. Obviamente, sea reta e o plano se
interceptam a distˆancia ´e nula.
Seja n um vetor normal ao plano _ e v um vetor diretor da reta r. Existem
duas possibilidades:
• ou a reta ´e paralela ao plano (em tal caso n ・ v = 0),
• a reta n˜ao ´e paralela ao plano ou n˜ao (isto ocorre se n ・ v 6= 0). Neste
caso a reta intercepta ao plano em um ponto a distˆancia ´e zero.
No primeiro caso, a distˆancia de r a _´e a distˆancia de qualquer ponto P
de r a _. Logo ´e suficiente escolher qualquer ponto de r e calcular a distˆancia
a _, caindo em um caso j´a estudado. A afirma¸c˜ao ´e obtida como segue: sejam
P e Q pontos da reta, e sejam T e R os pontos do plano mais pr´oximos de P e
de Q, ent˜ao os vetores PT e QR s˜ao paralelos e os quatro pontos determinan
um retˆangulo, portanto, |PT| = |QR|.
Exemplo3. Calcule a distˆancia da reta r = (1 + t,−t, 1 − t) ao plano
_ : x + 2 y − z = 1.
6
Resposta: Temos que que um vetor diretor da reta ´e (1,−1,−1) e um
vetor normal do plano ´e (1, 2,−1). Como
(1,−1,−1) ・ (1, 2,−1) = 0,
temos que o vetor diretor da reta ´e ortogonal ao vetor normal ao plano.
Portanto, a reta ´e paralela ao plano.
Como o ponto (1, 0, 1) pertence a r, o exerc´ıcio j´aest´a resolvido no exemplo
distˆancia entre ponto e plano, e a distˆancia ´e 1/√6. _
4 Distˆancia entre dois planos _ e _
A distˆancia entre os planos _ e _ ´e a menor das distˆancias entre pontos P de
_ e Q de _.
Sejam n e m vetores normais dos plano _ e _, respectivamente. Existem
duas possibilidades: ou os planos s˜ao paralelos (em tal caso n = _m para
algum _ 6= 0) ou n˜ao. No ´ultimo...
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