Bambu

Instituto Superior Tecnico
Departamento de Matematica
Sec ~ao de Algebra e Analise

Exerc cios Resolvidos

Integrais de Linha. Teorema de Green

Exerc cio 1 Um aro circular de raio 1 rola sem deslizar ao longo de uma linha recta. Qual e o comprimento da trajectoria descrita por um ponto do aro entre um contacto com o solo e a proxima vez que se encontra a mesma altura que o centro?

A curva descrita por um ponto do aro chama-se cicloide

Resoluc~ao: Podemos colocar o aro no plano xOy a rolar ao longo do eixo Ox de tal forma que, no in cio do movimento, o centro se encontra no ponto (0; 1) e o ponto do aro em quest~ao se encontra na origem.

O facto de o aro rolar sem deslizar signi ca que quando o centro se desloca uma dist~ancia s ao longo do eixo Ox, o ponto no aro descreve, em relac~ao ao centro do aro, um arco de circunfer^encia de comprimento s. Em particular, num quarto de volta do aro, o centro deslocar-se-a um comprimento total de 2 .

y

1 s 0 s 2 x Figura 1: Esboco da cicloide

O movimento do ponto do aro pode-se decomp^or em dois: o movimento do centro do aro e o movimento do ponto em relac~ao ao centro.

Se usarmos a dist^ancia percorrida pelo aro como par^ametro, a trajectoria do centro e descrita pelo caminho g1 : [0; 2 ] ! R2 de nido por g1(s) = (s; 1)

Por outro lado, a trajectoria do ponto no aro em relac~ao ao centro e descrita pelo caminho g2 : [0; 2 ] ! R2 de nido por

g2(s) =
(cos(

s); sen(

s))

2

2

=
( sen s; cos s)

ja que o vector que une o centro ao ponto do aro comeca por fazer um angulo^ de 2 com o eixo

Ox e roda no sentido dos ponteiros do relogio.

1

Portanto, a trajectoria descrita pelo ponto no aro e dada pela soma destes dois caminhos: g : [0; 2 ] ! R2 de nido por g(s) = g1(s) + g2(s)
=
(s sen s; 1 cos s)

O comprimento deste caminho e