Aula9 C Num

2 Sistemas Equa¸co˜es Lineares Alg´ebricas
Professor: Wemerson D. Parreira.
Universidade Cat´ olica de Pelotas
Centro Polit´ ecnico 2012

Wemerson D. Parreira (UCPel)

C´ alculo Num´ erico 2012

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2.1. Introdu¸c˜ao
M´
etodos de resolu¸c˜ ao: Diretos: fornecem solu¸c˜ ao exata, se ela existir, ap´ os um n´ umero finito de opera¸co ˜es.
➪ Poss´ıvel erro de arredondamento.
(0)

Iterativos: solu¸c˜ ao ´e alcan¸cada a partir de uma estimativa inicial {xi } e repeti¸c˜ ao de determinado c´ alculo diversas vezes, utilizando sempre a estimativa da
(k−1)
(k) etapa anterior {xi
} como estimativa para a etapa seguinte {xi }.
(k)

➪ Sob certas condi¸co
˜es a sequˆencia {xi } converge para uma solu¸c˜ ao {x∗i } caso ela exista.

➪ Obs.: Um sistema adminte solu¸c˜ ao u
´nica sempre que det(A) = 0.

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2.2.1 M´etodo da Elimina¸c˜ao de Gauss
Algoritmo para resolu¸c˜ ao de sistema triangular superior:
Dado um sistema triangular superior de ordem n × n, com diag(A) = [A]ii = 0, para obter as vari´ aveis xn , xn−1 , xn−2 , . . . , x1 pode-se proceder da seguinte maneira: xn = bn /ann
Para k = (n − 1), . . . , 1

s=0
 Para j = (k + 1), . . . , n

 s = s + akj xj xk = (bk − s)/akk
➪ Vocˆe pode implementar esse conjunto de passos em qualquer linguagem (Matlab,
Scilab, C) para resolver um sistema triangular superior.

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2.2. M´etodos diretos
2.2.1 M´ etodo da Elimina¸c˜ ao de Gauss
➪ Consiste em, usando transforma¸co
˜es elementares, reduzir o sistema de equa¸co
˜es a um sistema triangular (sistema de solu¸c˜ ao imediata).
➪ T´ecnica de pivotamento: Consiste em trocar a ordem das linhas de modo que na diagonal principal fiquem os maiores valores poss´ıvel.
Descri¸c˜
ao do m´ etodo Seja A x = b. Se aplicarmos sobre as equa¸co
˜es deste sistema uma sequˆencia de opera¸co ˜es elementares, tais como:
i. trocar duas equa¸co
˜es;
ii. multiplicar uma equa¸c˜
ao