Aula14 Implementa O Do M Todo De Newton Raphson

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Turmas EM, EMP e EE

14ª Aula
Implementação Computacional do Método Newton-Raphson
Método das Aproximações Sucessivas de Newton-Raphson: Utilizado para encontrar a raiz ou raízes de uma função matemática. A raiz é o ponto em que a função cruza o eixo x, ou seja, o valor de x que leva o resultado da função igual a zero, conforme pode ser visto na Figura 1.
Aplicação do Método:
1) Dada a função f(x), ao qual se deseja calcular a raiz, determinar a derivada primeira da função: f '(x)
2) Montar a expressão do Método de Newton-Raphson (fórmula de recorrência) utilizada para obter as aproximações:

xi +1 = xi −

f ( xi ) f ' ( xi )

3) Escolher o valor inicial (“chute inicial”) para começar as aproximações. Se o gráfico da função estiver disponível, deve ser escolhido como “chute inicial” um valor próximo ao ponto onde gráfico cruza o eixo x (raiz da função). Desta forma o programa convergirá rapidamente à raiz da função e, consequentemente, serão realizadas menos iterações.
4) Começar o cálculo com a expressão usando x=x1 (valor inicial ou “chute inicial”). Em seguida, obter os demais valores de x por meio da expressão do Método de NewtonRaphson dada acima.
5) Continuar o procedimento até que o resultado atinja a precisão desejada.

Exemplo 1:
Calcular a raiz da função

f ( x) = x 2 − 5

ou

f ( x) = x 2 − 5 = 0 ⇒ x = 5

Figura 1 – Gráfica da função
14a AULA - Implementação Computacional do Método Newton-Raphson

rev. nov2011

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Fórmula de recorrência utilizada para realizar as aproximações:

f ( xi ) xi2 − 5 xi +1 = xi −
= xi − f ' ( xi )
2 xi
Começando o cálculo com x1 = 2 teremos a tabela abaixo como exemplo da aplicação do método de Newton-Raphson:

1

x1 = 2

2

x 2 = 2.25

3

x 3 = 2.236111111 x 4 = 2.236067978 x 5 = 2.236067977

4
5

xi +1

xi

i

f (xi ) xi2 − 5
= xi −
= xi −
2 xi f ' ( xi )

22 − 5 x2 = 2 −
= 2 . 25
2⋅2
2 .2 5 2 − 5 x 3 = 2 . 25 −
= 2 . 2