Aula12 matematica

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Aula 12 – Quadril´teros I a

´ MODULO 2 - AULA 12

Aula 12 – Quadril´teros I a
Objetivos Construir quadrados, retˆngulos e losangos utilizando suas principais propria edades e recursos de constru¸oes de triˆngulos. c˜ a A constru¸ao de quadril´teros vai recair de forma natural na constru¸ao c˜ a c˜ de triˆngulos, basta lembrar que sua diagonal o divide em dois triˆngulos. a a Problema 1:Construir um quadrado sendo dado um lado. c˜ Resolu¸ao: Seja o lado AB dado do quadrado. 1.1 Pela extremidade A do lado tra¸ar uma perpendicular ao lado; c 1.2 Com centro em A e raio AB constr´i-se uma circunferˆncia que intero e cepta a perpendicular em um ponto C; 1.3 Com centro em C, e logo a seguir com centro em B, constr´i-se duas o circunferˆncias de raios AB, que se interceptar˜o nos pontos Ae D; e a 1.4 O quadril´tero ABDC ´ um quadrado. a e

C

D

O

A

B

Figura 1 Justificativa: Note que os triˆngulos ABC e BDC s˜o congruentes pelo caso a a L.L.L., e s˜o triˆngulos retˆngulos is´sceles. Logo os lados do quadril´tero a a a o a ABDC s˜o iguais e seus angulos internos s˜o retos. a ˆ a
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CEDERJ

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Sabe-se, pela Geometria B´sica, que oap´tema de um pol´ a o ıgono regular ´ o segmento cujos extremos s˜o o centro do pol´ e a ıgono regular e o ponto m´dio de um lado. No caso de um quadrado, o ap´tema tem a medida que e o corresponde a m´tade do lado. e Exerc´ ıcios: o 1. Construir um quadrado sabendo que seu ap´tema tem medida a dada pelo segmento abaixo.
a

Figura 2 2. Construir um quadrado sabendo que sua diagonal tem medida ddada pelo segmento abaixo.
d

Figura 3

Problema 2: Construir um quadrado conhecendo a soma da diagonal com o lado. Indiquemos por L o lado do quadrado, por d sua diagonal e por s = L + d. Assim, temos pelo Teorema de Pit´goras que: a √ √ √ s d=L 2 √ d = s − L ⇒ L 2 = s − L ⇒ L( 2 + 1) = s ⇒ L = √ = s 2 − s. 2+1 Da´ o lado do quadrado procurado ´ a diferen¸a entre a diagonal de um ı e c quadradocujo lado ´ s e este lado s. e Resolu¸ao: c˜ Seja o lado AB a soma da diagonal do lado de um quadrado com o seu lado. 1.1 Pela extremidade A do lado tra¸ar uma perpendicular a AB; c 1.2 Com centro em A e raio AB constr´i-se uma circunferˆncia que intero e cepta a perpendicular em um ponto C;
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1.3 Com centro em B e raio ABconstruimos uma circunferˆncia que ine tercepta o segmento CB em um ponto D; 1.4 O segmento CD ´ o lado do quadrado procurado; e 1.5 Basta agora seguir os mesmos passos do problema 1 para achar o quadrado CDEF .
E

C O’

F

D

O

A

B

Figura 4 Existe um segundo processo para resolver o problema anterior. Suponha o problema j´ resolvido, isto ´, que j´ tenhamos o quadrado constru´ a e aıdo. • Prolonga-se a diagonal e rebate-se o lado sobre o prolongamento. Obtemos assim um segmento que ´ a soma do lado com a diagonal; e • Une-se a extremidade deste segmento com um dos outros v´rtices que e 45o n˜o formam a diagonal formando um angulo de a ˆ com o seu prolon2 gamento .
E 45O 2 D C

45O

45O A B

Figura 5
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Justificativa: Porconstru¸ao o triˆngulo BCE ´ is´sceles de base BE, logo c˜ a e o o C BE = C EB. Por outro lado, ACB = 45 ´ angulo externo do triˆngulo eˆ a BCE n˜o adjacente aos angulos C BE e C EB, da´ ACB = C BE + C EB. a ˆ ı 45o . Portanto, C EB = 2 45o em Assim, para construir o quadrado basta construir angulo de ˆ 2 um extremo, E, da soma do lado com a diagonal e no outro extremo, A, um angulo de 45o . Os lados destesangulos se encontrar˜o em um dos v´rtices A ˆ ˆ a e do quadrado. Unindo o extremo A com o ponto B temos o lado do quadrado. Exerc´ ıcios: 3. Construir um quadrado conhecendo a diferen¸a D da diagonal com o c lado.
D

Figura 6 Sugest˜o: Basta seguir a mesma id´ia do problema 2. a e Problema 3: Construir um losango sendo dados as medidas, L e D, do lado e de uma diagonal, respectivamente. `...
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