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Ivonete Melo de Carvalho

Função Exponencial e Logar ítmica
Palavras chave: conceitos, definições, aplicações.

Objetivos:
Estudar função exponencial a par tir do fator multiplicativo e em sua for ma ger al. Analisar as aplicações da função exponencial. Inter pr etar e esboçar o gr áfico da função exponencial.

Objetivos (continua)
Identificar o logar itmo como uma oper ação inver sada potenciação. Compr eender que o logar itmo possibilita a simplificação dos cálculos por meio de suas pr opr iedades oper atór ias.

Conteúdo
Função exponencial. Função logar ítmica.

Função exponencial
Toda expr essão do tipo y = a f(x), com a > 0 e a 1. Exemplo: y = 3x y = –5 x + 6 y = 1 – 0,5 x

Car acter ísticas pr incipais
O gr áfico é sempr e uma cur va suave. Pode ser : crescente, decr escente ou apr esentar inter valos de cr escimento e decr escimento. Pode, ou não, possuir r aízes (ou zer os).

Um exemplo:
Seja a função y = –5 x + 0,2. Desenhe o gr áfico da função. Calcule as r aízes, se houver . Calcule o valor de y par a o qual x = 0. Deter mine se a função é cr escente ou decr escente.

O gr áfico
Valor de x -1 0 1 2 Valor de y 0 –0,8 –4,8 –24,8 Cálculo dey y = –5 x + 0,2 = –5 -1 + 0,2 = 0 y = –5 x + 0,2 = –5 0 + 0,2 = –0,8 y = –5x + 0,2 = –51 + 0,2 = –4,8 y = –5 x + 0,2 = –5 2 + 0,2 = –24,8

O gr áfico

As r aízes:
y 0 5 5 x
x x

5 5

x

0, 2 2 10

x

1 5 1 5 1

Valor de y par a x = 0
Se x y y y y 5 5 0, ent ão :
x 0

0, 2 0, 2

1 0, 2 0,8

Cr escente ou decr escente?
Obser ve que confor me aumenta o valor de x,diminui o valor de y. Por tanto, a função é decr escente.

Livr o texto, página 72, exer cício 8
Uma cidade, no ano 2000, tem 1.350.000 habitantes e, a par tir de então, sua população cr esce de for ma exponencial a uma taxa de 1,26% ao ano. (a) Obtenha a população P como função dos anos t, isto é, P = f(t).

Livr o texto, página 72, exer cício 8
(b) Estime a população da cidade par a os anosde 2000, 2001, 2005 e 2010. (c)Esboce o gr áfico de P(t). (d) Qual o aumento per centual na pr imeir a década? E na segunda década?

Livr o texto, página 72, exer cício 8
(e) Em que ano a população ser á de 15.000.000 de habitantes? (f) Após quanto tempo a população duplicar á?

Respondendo...
(a) Obtenha a população P como função dos anos t, isto é, P = f(t).

P P P

f t
t t Respondendo...
(b) Estime a população da cidade par a os anos de 2000, 2001, 2005 e 2010.
P(2000) P(2001 ) P(2005) P(2010) 1. 350. 000 * 1 0126 , 1. 350. 000 * 1 0126 ,
0

1. 350. 000 1. 367. 010 1. 437. 221 1. 530. 076

1 5 10

1. 350. 000 * 1 0126 ,

1. 350. 000 * 1 0126 ,

Respondendo...
(c)Esboce o gr áfico de P(t).

Respondendo...
(d) Qual o aumento per centual na pr imeir adécada? E na segunda década?
a1a a 2a 1. 530. 076 1 13,338962% 1. 350. 000 1. 734. 172 1 13,338962% 1. 530. 076

Função logar ítmica
Toda expr essão do tipo y = log a f(x), com a > 0, a 1 e f(x) > 0. Exemplo: y = log 2(3x) y = log 5(–5x + 6) y = 1 – log(0,5x)

Car acter ísticas pr incipais
O gr áfico é sempr e uma cur va suave. Pode ser : cr escente, decr escente ou apr esentar inter valosde cr escimento e decr escimento. Pode, ou não, possuir r aízes (ou zer os).

Exemplo
Seja a função y = log 2(2x + 1). Desenhe o gr áfico da função. Calcule as r aízes, se houver . Calcule o valor de y par a o qual x = 0. Deter mine se a função é cr escente ou decr escente.

Estudo das r estr ições
Base 2 (b > 0, b 1) Logar itmando 2x + 1 > 0 então 2x > – 1 => x > –0,5

Elabor ação databela
Valores de x 0 0,5 1,5 3,5 Valores de y Cálculo dos valores de y 0 1 2 3 y = log2(2*0+ 1) = log2(0+1) = log21 = 0 y = log2(2*0,5+ 1) = log2(1+1) =log22 = 1 y = log2(2*1,5+ 1) = log2(3+1) =log24 = 2 y = log2(2*3,5+ 1) = log2(7+1) =log28 = 3

Gr áfico

Cálculo das r aízes
y 0 2
0

log2(2x 1 ) log2(2x 1 ) 2x 1

1 2x 1 2x 0 x 0

O valor de y par a o qual x = 0.
y y y y 2y 2 y...
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