Aula limite e derivada

LIMITES E DERIVADAS
Deyser de Oliveira dos Reis

LIMITES
DEFINIÇÃO: Seja I um intervalo aberto ao qual pertence o número real a. Seja f(x) uma função definida para x ϵ I – {a}. Dizemos que o limite de f(x), quando x tende a a, é L.

lim f ( x)  L x a

• Se para todo ε > 0 qualquer, existir δ > 0 tal que se 0 < |x – a| < δ então | f(x) – L| < ε. lim f ( x)  L  (e  0,   0 | 0 | x  a |  | f ( x)  L |  ) x a

• É importante observarmos nesta definição que nada é mencionado sobre o valor da função quando x = a, isto é, não é necessário que a função esteja definida em a. • Exemplo: Seja a função definida para todo x real e x ≠ 1. f ( x)  (2 x  1)( x  1) ( x  1)

f ( x)  2 x  1
• Quando atribuímos a x valores próximos de 1, porém menores que 1, temos: x f(x) 0 1 0,5 2 0,75 2,5 0,9 2,8 0,99 2,98 0,999 2,998

• Quando atribuímos a x valores próximos de 1, porém maiores que 1, temos: x f(x) 2 5 1,5 4 1,25 3,5 1,1 3,2 1,01 3,02 1,001 3,002

• Convencionalmente tem-se:

lim 2 x  1  3 x 1

Limites laterais
• As aproximações vistas no exemplo anterior são chamadas de limites laterais.
– Quando x tende a 1 por valores menores do que 1, dizemos que x tende a 1 pela esquerda, e denotamos simbolicamente por: x 1

lim 2 x  1  3 

– Quando x tende a 1 por valores maiores do que 1, dizemos que x tende a 1 pela direita, e denotamos simbolicamente: x 1

lim 2 x  1  3 

• Em alguns casos, uma função pode tender a dois limites diferentes, conforme a variável se aproxime de seu limite por valores maiores ou menores que este limite. • Em tal caso, o limite não é definido (não existe), mas os limites pela direita e pela esquerda existem.

• Exemplo: Seja C(x) definida por: x se 0  x  10 C ( x)   0,9 x se 10  x

Propriedades de Limites
1.lim K  K 2.lim  f ( x )  g ( x )   lim f ( x )  lim g ( x ) xa xa xa xa

3.lim K . f ( x )  K .lim f ( x ) 4.lim  f ( x ).g ( x )   lim f ( x ).lim