Aula limite e derivada

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LIMITES E DERIVADAS
Deyser de Oliveira dos Reis

LIMITES
DEFINIÇÃO: Seja I um intervalo aberto ao qual pertence o número real a. Seja f(x) uma função definida para x ϵ I – {a}. Dizemos que o limite de f(x), quando x tende a a, é L.

lim f ( x)  L
x a

• Se para todo ε > 0 qualquer, existir δ > 0 tal que se 0 < |x – a| < δ então | f(x) – L| < ε.
lim f ( x)  L  (e  0,   0 | 0| x  a |  | f ( x)  L |  )
x a

• É importante observarmos nesta definição que nada é mencionado sobre o valor da função quando x = a, isto é, não é necessário que a função esteja definida em a. • Exemplo: Seja a função definida para todo x real e x ≠ 1.
f ( x)  (2 x  1)( x  1) ( x  1)

f ( x)  2 x  1
• Quando atribuímos a x valores próximos de 1, porém menores que 1, temos:x f(x) 0 1 0,5 2 0,75 2,5 0,9 2,8 0,99 2,98 0,999 2,998

• Quando atribuímos a x valores próximos de 1, porém maiores que 1, temos:
x f(x) 2 5 1,5 4 1,25 3,5 1,1 3,2 1,01 3,02 1,001 3,002

• Convencionalmente tem-se:

lim 2 x  1  3
x 1

Limites laterais
• As aproximações vistas no exemplo anterior são chamadas de limites laterais.
– Quando x tende a 1 por valores menores do que 1,dizemos que x tende a 1 pela esquerda, e denotamos simbolicamente por:
x 1

lim 2 x  1  3 

– Quando x tende a 1 por valores maiores do que 1, dizemos que x tende a 1 pela direita, e denotamos simbolicamente:
x 1

lim 2 x  1  3 

• Em alguns casos, uma função pode tender a dois limites diferentes, conforme a variável se aproxime de seu limite por valores maiores ou menores queeste limite. • Em tal caso, o limite não é definido (não existe), mas os limites pela direita e pela esquerda existem.

• Exemplo: Seja C(x) definida por: x se 0  x  10 C ( x)   0,9 x se 10  x

Propriedades de Limites
1.lim K  K 2.lim  f ( x )  g ( x )   lim f ( x )  lim g ( x )
xa xa xa xa

3.lim K . f ( x )  K .lim f ( x ) 4.lim  f ( x ).g ( x )   lim f ( x ).lim g( x )
xa x a x a x a x a

lim f ( x ) f ( x) 5.lim  xa , lim g ( x)  0 x a g ( x) lim g ( x ) x  a
xa

6.lim  f ( x )    lim f ( x )  xa  x a 
n

n

7.lim
xa



n

f ( x)



n

lim f ( x )
xa

Exemplos:

1.lim(3x  5)
x 2

2.lim 10 x  2
3 2 x 5





Limites infinitos
• Funções cujos valores aumentam ou diminuem sem limitação,quando a variável independente aproxima-se cada vez mais de um número fixo. • Exemplo:

3 f ( x)  2 ( x  2)

• Quando x tende a 2 por valores maiores que 2:
x f(x) 3 3 2,5 12 2,25 48 2,1 300 2,01 30000 2,001 3000000

• Quando x tende a 2 por valores menores que 2:
x F(x) 1 3 1,5 12 1,75 48 1,9 300 1,99 30000 1,999 3000000

• Assim sendo, quando x tende a 2 pela direita ou pelaesquerda, f(x) cresce sem limites:

3 lim   2 x  2 ( x  2)

Definição
• Se uma função f(x) é maior do que um número positivo arbitrariamente grande, para todos os valores de x que estejam suficientemente próximos de uma constante a, e para os quais x ≠ a, diz-se que f(x) torna-se positivamente infinito quando x tende para a.

lim f ( x)  
x a

• Da mesma forma, f(x) torna-senegativamente infinito quando ele assumi valores negativos numericamente grandes.
lim f ( x)  
x a

Limites no infinito
• Limites de funções, quando a variável independente cresce ou diminui indefinidamente.
– Exemplo:

2 x2 f ( x)  2 x 1

• Quando x cresce, tomando valores positivos, temos:
x f(x) 0 0 1 1 2 1,6 3 1,8 4 1,882353 5 1,923077 10 1,980198 100 1,999800 1000 1,999998

•Quando x cresce, tomando valores positivos, temos:
x f(x) -1 1 -2 1,6 -3 1,8 -4 1,882353 -5 1,923077 - 10 1,980198 - 100 1,999800 -1000 1,999998

• Assim sendo, quando x cresce/decresce indefinidamente pela direita ou pela esquerda, f(x) aproxima-se de 2:

2x lim 2 2 x  x  1

2

e

2x lim 2 2 x  x  1

2

• O limite “infinito” para valores da função quando a variável...
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